Tübitak Lise 1. Aşama 2004 Soru 11

[geo]

$40$ satır ve $7$ sütundan oluşan bir satranç tahtasının her birim karesine $0$ ve $1$ sayılarından birini yazıyoruz. Bu yazım sonucu, farklı herhangi iki satırda oluşan diziler birbirinden farklıysa, en çok kaç tane $1$ kullanılmış olabilir?

$
\textbf{a)}\ 198
\qquad\textbf{b)}\ 128
\qquad\textbf{c)}\ 82
\qquad\textbf{d)}\ 40
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Olabildiğince çok $1$ kullanmaya çalışacağız. Bir satırda en fazla $7$ tane $1$ kullanılabilir.

$7$ tane $1$ kullanılan sadece $1$ satır olabilir.

$6$ tane $1$ kullanılan en fazla $\dbinom{7}{6}=7$ satır olabilir.

$5$ tane $1$ kullanılan en fazla $\dbinom{7}{5}=21$ satır olabilir.

$4$ tane $1$ kullanılan en fazla $\dbinom{7}{4}=35$ satır olabilir.

Dolayısıyla en fazla $1$ kullanmak için $1$ adet $7$ tane birli, $7$ adet $6$ tane birli, $21$ adet $5$ tane birli ve $11$ adet $4$ tane birli kullanmalıyız. Toplamda $$1\cdot 7+7\cdot 6+21\cdot 5+11\cdot 4=198$$ adet $1$ kullanılmış olabilir.