Tübitak Lise 1. Aşama 2004 Soru 08

[geo]

$x+y+z = 90$ eşitliğini sağlayan kaç $(x, y, z)$ pozitif tam sayı üçlüsü için $\dfrac xn = \dfrac y{n + 1} = \dfrac z{n + 2}$ koşulunu sağlayan bir $n$ pozitif tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ 9
$

[taftazani44]

x=kn,y=k(n+1),z=k(n+2)
kn+kn+k+kn+2k=90
3kn+3k=90
k(n+1)=30=2.3.5
Pozitif bölen sayısı 2.2.2=8 olur
Ancak n+1=1 için n=0 olacağından x/n tamsayı olmaz.
Yani 7 tane

[geo]

Yanıt: $\boxed D$

$\dfrac{x}{n}=\dfrac{y}{n+1}=\dfrac{z}{n+2} = \dfrac {x+y+z}{n+n+1+n+3} = \dfrac {90}{3(n+1)} = \dfrac {30}{n+1} $

$y=30$, $x = \dfrac{30n}{n+1}$, $z = \dfrac{30(n+2)}{n+1}$

$n>0$ bir tam sayı olmak üzere; $\text{obeb} (n,n+1) = \text{obeb} (n+1, n+2) = 1$ olduğu için $n+1 \mid 30$ olur.
$30$'un $8$ pozitif böleni vardır. Bunlardan biri ($1$), $n=0$ durumuna yol açar. Bu nedenle cevap $\boxed{(D)\ 7}$ olarak bulunur.