Tübitak Lise 1. Aşama 2003 Soru 34

[geo]

$m$ ve $n$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $m$, $m+1$, $\cdots$, $m+n$ sayılarından yalnızca $m$ ve $m+n$ nin ondalık yazılımlarındaki basamakların toplamları $8$ ile bölünüyorsa, $n$ en çok kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 12
\qquad\textbf{b)}\ 13
\qquad\textbf{c)}\ 14
\qquad\textbf{d)}\ 15
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

$m=\underset{6\text{  tane  } 9}{\underbrace{99\cdots 9}}2$ sayısı için $n=15$ istenileni sağlar. Şimdi bu sayıyı nasıl elde ettiğimizi gösterelim. $m$ sayısının son basamağı $0$ veya $1$ ise $m+8$ sayısının da rakamları toplamı $8$'e bölünecektir. Bu durumda $n$ en fazla $8$ olur. $b\geq 2$ için $m$'nin son basamağı $b$ olsun. $b$'den önceki basamağı $9$ değilse, $m=a_1a_2\dots a_kb$ için $m+9=a_1a_2\dots (a_k+1)(b-1)$ sayısının rakamları toplamı $8$'e bölünecektir. Bu durumda da $n$ en fazla $9$ olabilir.

$b\geq 2$ ve $b$'den önceki $t$ adet rakam $9$ ise $m=a_1a_2\dots a_k \underset{t\text{  tane  } 9}{\underbrace{99\cdots 9}}b$ sayısını ele alalım ($a_k\neq 9$). Rakamları toplamının $8$ modunda $a_1+a_2+\cdots + a_k +t+b$'a denktir. Eğer $t+b-1$'in $8$ modunda verdiği kalan $A$ ise $m+A+10-b$ sayısı $$a_1a_2\dots (a_k+1)\underset{t\text{  tane  } 0}{\underbrace{00\cdots 0}}A$$ olacaktır. Bu sayının rakamları toplamı da $8$'e bölünür. $A$ en fazla $7$ ve $b$ en az $2$ olacağından bu durumda $n$ en fazla $7+10-2=15$ olabilir. Örnek olarak da $m=\underset{6\text{  tane  } 9}{\underbrace{99\cdots 9}}2$ sayısı verilebilir. Dolayısıyla $n$ en fazla $15$ olabilir.