Tübitak Lise 1. Aşama 2003 Soru 26

[geo]

$n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$ sayılarından her birinin kendi ondalık yazılımındaki basamaklar toplamı ile bölünmesini sağlayan ve ondalık yazılımının birler basamağı $8$ olan $n$ tam sayılarının onlar basamağı kaç farklı değer alabilir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$n$ sayısının birler basamağı verildiğinden diğerlerini de bulabiliriz. Eğer onlar basamağı $a\neq 9$ ise $a+1=b$ için $$\begin{array}{rcl}
n &=& \cdots a8\\
n+1 &=& \cdots a9 \\
n+2 &=& \cdots b0\\
n+3 &=& \cdots b1
\end{array}$$ şeklinde olacaktır ("$\cdots$" kısımları aynıdır). Yani rakamları toplamını $s(n)$ ile gösterirsek $s(n+1)=s(n)+1$, $s(n+2)=s(n)-7$ ve $s(n+3)=s(n)-6$ olacaktır. Yani $$s(n)\mid n$$ $$s(n)+1\mid n+1$$ $$s(n)-7\mid n+2$$ $$s(n)-6\mid n+3$$ olmasını istiyoruz.

Eğer $s(n)$ çiftse $n$ ve $s(n)-6$ çift olmak zorundadır ancak $n+3$ tektir ve çift bir sayıya bölünemez.

Eğer $s(n)$ tekse $s(n)+1$ ve $s(n)-7$ çifttir ancak $n+1$ ve $n+2$ aynı anda çift olamaz. Bu da bir çelişkidir. Demek ki $a\neq 9$ kabulumuz yanlıştır. $a$ sadece $9$ olabilir.

Sınav test olduğundan $9$ için örnek veya karşıt örnek bulmamıza gerek yoktur ama örnek bulursanız ve eklerseniz sevinirim.