Tübitak Lise 1. Aşama 2008 Soru 02

[ERhan ERdoğan]

$3m^2n=n^3+A$ denkleminin doğal sayılarda aşağıdaki $A$ değerlerinden hangisi için çözümü vardır?

$
\textbf{a)}\ 301
\qquad\textbf{b)}\ 403
\qquad\textbf{c)}\ 415
\qquad\textbf{d)}\ 427
\qquad\textbf{e)}\ 481
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

Öncelikle seçeneklerde verilen $A$ değerlerinin $3$ ile bölünemediğini gözlemleyelim.

$n(3m^2-n^2)=A$ yazalım. $n^2\equiv 0,1 \pmod3$ olduğundan $3m^2-n^2 \equiv 0,2 \pmod3$ olur. $A$ sayısı $3$ e bölünmediğinden $3m^2-n^2 \equiv 2 \pmod3$ mümkündür. O halde $A$ sayısının pozitif bölenlerinden biri $3k+2$ formunda olmalıdır. Şimdi seçenekleri inceleyelim.

$301=7\cdot 43$ olduğundan $3k+2$  formunda böleni yoktur. $A \neq 301$
$403=13\cdot 31$ olduğundan $3k+2$  formunda böleni yoktur. $A \neq 403$
$415=5\cdot 83$ olduğundan $3k+2$  formunda böleni vardır. $n(3m^2-n^2)=5\cdot 83$ eşitliğinde $3m^2-n^2=83$ ve $n=5$ için $m=6$ bulunur.
$427=7\cdot 61$ olduğundan $3k+2$  formunda böleni yoktur. $A \neq 427$
$481=13\cdot 37$ olduğundan $3k+2$  formunda böleni yoktur. $A \neq 481$