Tübitak Lise 1. Aşama 2008 Soru 06

[ERhan ERdoğan]

Eğer $n$ pozitif tamsayısına bölünen her tamsayı, basamaklarının yerleri nasıl değiştirilirse değiştirilsin yine $n$ ye bölünüyorsa, $n$ ye "iyi" sayı diyelim. Kaç iyi sayı vardır?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 12
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz Sayıda}
$

[Dogukan6336]

İlk önce bir basamaklılarla çalışalım.
Bölünebilme kuralları dolayısıyla $n = 1 , 3 , 9$ sayılarının şartı sağladığı açıktır. Mesela $5$ sayısı sağlamaz. Çünkü $5|15$ iken $5$ sayısı $51$ i bölemez.
$n$ sayısı iki basamaklı olursa $n = ab$ iken $ab$ sayısı $ab0$ sayısını bölecektir fakat $b0a$ sayısını bölemeyecektir. Bunu $2,3,..$ basamaklar için gösterebiliriz. O halde sorumuzun cevabı $3$ dür.

[Eray]

$n$ sayısı iki basamaklı olursa $n = ab$ iken $ab$ sayısı $ab0$ sayısını bölecektir fakat $b0a$ sayısını bölemeyecektir. Bunu $2,3,..$ basamaklar için gösterebiliriz.

$37\mid703$

[Dogukan6336]

$n$ sayısı iki basamaklı olursa $n = ab$ iken $ab$ sayısı $ab0$ sayısını bölecektir fakat $b0a$ sayısını bölemeyecektir. Bunu $2,3,..$ basamaklar için gösterebiliriz.

$37\mid703$

ab sayısı ab0 ı bölse ve b0a yı bölse bile 0ba yı bölemez hocam kaçış yok Benim çözüm biraz test usulü çözüm oldu. En genel halde bu soruyu nasıl çözebiliriz peki hocam ?

[Eray]

Yanıt: $\boxed A$

Bir basamaklı sayılarda şartı sağlayan sayıların yalnızca $1,3,9$ olduğunu görmek kolaydır.

En az iki basamaklı $n$ sayısının şartı sağladığını kabul edelim.

i) $n$ sayısının son basamağı $0$ olsun. Bu durumda $n$ nin basamaklarının yerini değiştirip son basamağı $0$ olmayan bir $n'$ sayısı oluşturursak $10\mid n\mid n'$ olur. Ancak $n'$ nün son basamağı $0$ olmadığından $10\nmid n'$. Çelişki

ii) $n$ sayısının son basamağı $a\neq0$ olsun. Diğer tüm basamaklarını da $K$ ile gösterelim. $n=Ka=10K+a$
$n\mid Ka0, n\mid K0a \Longrightarrow n\mid Ka0-K0a \Longrightarrow n\mid9a$
$a$ bir rakam olduğundan şartı sağlayan $n$ sayısı $18,27,36,45,54,63,72,81$ sayılarının bölenlerinden biri olabilir.
Bu sayıların en az iki basamaklı bölenlerinin kümesi $\{18,27,12,36,15,45,54,21,63,24,72,81\}$ dir. Ancak bu sayılardan hiçbiri, basamaklarının yerleri değiştirilince meydana gelen iki basamaklı sayıyı bölmez.

Yani şartı sağlayan en az iki basamaklı sayı yoktur.

Dolayısıyla şartı sağlayan yalnızca üç pozitif tamsayı vardır: $1,3,9$.