19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları

[yusufipek]

çözüm17.

$n=1$ yazılırsa $a_{2}^2-a_{1}^2=1$ ve $k=1$ yazılırsa, $a_{2}=3a_{1}$ olur ve bu eşitliklerden $a_{1}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$ bulunur. $a_{n+1}^2-a_{n}^2=1$ eşitliği kullanılırsa $a_{11}^2 - a_{1}^2=10$ olup $a_{11}=\dfrac{9\sqrt{2}}{4}$ dür.

[yusufipek]

çözüm8.

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}x_{2} = 1^2-2.(-5)=11$

$x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=(x_{3}+x_{4})^2-2x_{3}x_{4} = 0^2-2.2=-4$

$x_{5}^{2}+x_{6}^{2}=(x_{5}+x_{6})^2-2x_{5}x_{6} = (-5)^2-2.3=19$

ifadelerini toplarsak , $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2} = 11-4+19=26$ bulunur.

[osman211]

21. sorunun çözümü


iki polinomun farkını alırsak   

* 4x³+8x²-10

toplamını alırsak

* 2x⁴+2x³


eğer x=p durumunu ele alırsak   p asalı butun x sayılarını boler geriye 5 kalcağı için p=5 birinci durum


simdi  eğer  p>x ise

pI x³(2x+2) --------->  ancak p sayisi x i bolemicek burdan   pI2x+2 olur   x=-1(mod p) olur

yazarsak deklemden    pI3 olur  burdan ikinci p=3  olarak bulunur   

3+5=8 yapar

[Eray]

Çözüm 3:

Yanıt: $\boxed{E}$

$x=6, y=6, z=6$ için $6^5 + 5.6^5 = 6^6$, denklem sağlanır. Eşitliğin her iki tarafını $OKEK(5,6)=30$ olduğu için $n^{30}$ ile çarparsak, $6^5\cdot n^{30} + 5\cdot6^5\cdot n^{30}=6^6\cdot n^{30} \Longrightarrow (6\cdot n^6)^5 + 5\cdot(6.n^6)^5=(6\cdot n^5)^6$ olur.
Yani, $x=6\cdot n^6$, $y=6\cdot n^6$, $z=6\cdot n^5$ şeklinde sonsuz çoklukta çözüm vardır.

[Eray]

Çözüm 12:

Yanıt: $\boxed{C}$

Lemma: $\{1,2,\cdots, n\}$ kümesinin elemanlarından, ardışık $2$ sayı içermeyecek şekilde $r$ tanesi $\binom{n-r+1}{r}$ şekilde seçilebilir.

İspat: Eleman kümede varsa $1$, yoksa $0$ ile gösterilsin. Örneğin $\{1,2,3,4,5\}$ kümesinden seçilen $\{1,3,5\}$ altkümesi $[1,0,1,0,1]$ ile gösterilir.
$r$ eleman seçileceğine göre $r$ adet $1$, dolayısıyla $n-r$ adet $0$ kullanılacaktır. Bizim bulmak istediğimiz sayı ise, bu $r$ adet $1$ ve $n-r$ adet $0$'ın, ardışık iki $1$'in yan yana gelmemesi koşuluyla düz bir sıraya kaç farklı şekilde dizilebildiğidir.
$0$'lar dizildiğinde, $1$'ler baş ve son dahil aralarındaki $n-r+1$ boşluğa gelebilir. Bu $n-r+1$ boşluktan $r$ tanesi ise $\binom{n-r+1}{r}$ şekilde seçilebilir.

$A\setminus B = \{1,2,3,4,5,6,7\} \cup \{9,10,11,12,13\} \cup \{15,16,17\} \cup \{19\}$

Bu $4$ ayrık kümenin her birinin elemanlarıyla, ardışık $2$ sayı içermeyecek şekilde kaç altküme oluşturulabileceğini bulmalıyız.

$\{1,2,3,4,5,6,7\} \rightarrow$ Küme $7$ elemanlıdır. Ardışık iki sayı içermeyen $5$ eleman seçilemeyeceği açıktır. Sırasıyla, $0$, $1$, $2$, $3$, $4$ eleman seçilmesi durumları için, $\binom{n-r+1}{r}$ formulü kullanılırsa, $\binom{8}{0}+\binom{7}{1}+\binom{6}{2}+\binom{5}{3}+\binom{4}{4}=1+7+15+10+1=34$'tür.

$\{9,10,11,12,13\} \rightarrow$ Küme $5$ elemanlıdır. Yukarıdaki işlem aynı şekilde uygulanırsa sırasıyla $0$, $1$, $2$, $3$ eleman seçilmesi için $\binom{6}{0}+\binom{5}{1}+\binom{4}{2}+\binom{3}{3}=1+5+6+1=13$'tür.

$\{15,16,17\} \rightarrow$ Küme 3 elemanlıdır. Aynı şekilde, sırasıyla $0$, $1$, $2$ eleman seçilmesi için $\binom{4}{0}+\binom{3}{1}+\binom{2}{2}=1+3+1=5$'tir.

$\{19\} \rightarrow$ Kümenin içerdiği tek eleman vardır ya da yoktur, yani $2$ durum vardır.

Yani soruda belirtilen $A\setminus B$ kümesinden, iki ardışık sayı içermeyecek şekilde oluşturulabilecek altküme sayısı $34\cdot13\cdot5\cdot2=4420$'dir.

[Eray]

Çözüm 18:

Yanıt: $\boxed{B}$

Lucas Teoremi'ne göre, $\binom{n}{r}$ sayısının $p$ asal sayısına bölünmemesi için gerek ve yeter şart; $r$ sayısının, $n$ sayısının $p$'nin mümkün olan en büyük kuvvetlerinin toplamı şeklindeki yazılımındaki terimlerin herhangi birkaçının toplamı şeklinde olmasıdır. ($p$'lik taban kastedilmektedir)

Örneğin, $\binom{7}{r}$ sayısının kaç tane $r$ sayısı için $3$'e bölünmediğini bulalım. $7$ sayısı $3$'ün en büyük kuvvetlerinin toplamı şeklinde $3^1+3^1+3^0$ olarak yazılır. $3,3,1$ sayılarından oluşabilecek farklı toplamların sayısını bulmalıyız. $3$ sayısını $0$, $1$ ya da $2$ adet kullanabiliriz ($3$ durum). $1$ sayısını ise $0$ ya da $1$ adet kullanabiliriz ($2$ durum). Yani toplamda, $3\cdot2=6$ adet $r$ sayısı için $\binom{7}{r}$ sayısı $3$'e bölünmez. Kontrol edilirse, gerçekten de $\binom{7}{0}$, $\binom{7}{1}$, $\binom{7}{2}$, $\binom{7}{5}$, $\binom{7}{6}$, $\binom{7}{7}$ olmak üzere $6$ adet $\binom{7}{r}$ sayısı $3$'e bölünmez.

Şimdi, bizden istenen şey olan $\binom{1001}{r}$ sayısının kaç tane $r$ sayısı için $5$'e bölünmediğini bulalım. $1001$ sayısı $5$'in en büyük kuvvetlerinin toplamı şeklinde $5^4+5^3+5^3+5^3+5^0$ olarak yazılır. $625,125,125,125,1$ sayılarından oluşabilecek farklı toplamların sayısı için, $625$ sayısı $0$ ya da $1$ kez olmak üzere $2$ farklı şekilde, $125$ sayıları $0$, $1$, $2$ ya da $3$ kez olmak üzere $4$ farklı şekilde, $1$ sayısı ise yine $0$ ya da $1$ kez olmak üzere $2$ farklı şekilde kullanılabilir. $r$ sayılarının toplam sayısı $2\cdot4\cdot2=16$'dır.

[Lokman Gökçe]

Çözüm 12 (2. yol):

Yanıt: $\boxed{C}$

Lemma: $\{1,2,\cdots, n\}$ kümesinin elemanlarından, ardışık iki sayı içermeyecek şekilde $f_{n+2}$ tane alt kümesi vardır. Burada $(f_n)=(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, \dots )$ şeklindeki Fibonacci dizisidir.

İspatı indirgemeli diziler kullanılarak kolaylıkla yapılabilir. Şimdi problemimize dönelim:

$A\setminus B = \{1,2,3,4,5,6,7\} \cup \{9,10,11,12,13\} \cup \{15,16,17\} \cup \{19\}$  dir. Burada gördüğümüz $4$ ayrık kümenin eleman sayıları $7,5,3,1$ olduğundan, her bir ayrık küme için oluşturulabilecek ardışık eleman bulundurmayan alt küme sayılarını çarpmalıyız. Yani cevabımız $f_9 \cdot f_7 \cdot  f_4 \cdot f_3 = 34 \cdot 13\cdot 5 \cdot 2 = 4420$ olur.

[Eray]

Çözüm 24:

Yanıt: $\boxed{A}$

Verilen eşitlikte $x$ yerine $9$ yazılırsa, $f(9)\cdot f\left(f(9)+\dfrac{3}{18}\right)=\dfrac{1}{4} \Longrightarrow f\left(f(9)+\dfrac{1}{6}\right)=\dfrac{1}{4\cdot f(9)}$
Bu sefer verilen eşitlikte $x$ yerine $f(9)+\dfrac{1}{6}$ yazılırsa, $f\left( f(9)+\dfrac{1}{6} \right) \cdot f \left[ f\left(f(9)+\dfrac{1}{6}\right) + \dfrac{3}{2\cdot\left(f(9)+\dfrac{1}{6}\right)}\right]=\dfrac{1}{4}$
$\Longrightarrow \dfrac{1}{4\cdot f(9)} \cdot f\left(\dfrac{1}{4\cdot f(9)}+\dfrac{9}{6\cdot f(9)+1}\right)=\dfrac{1}{4} \Longrightarrow f\left(\dfrac{1}{4\cdot f(9)}+\dfrac{9}{6\cdot f(9)+1}\right)=f(9)$
Fonksiyon kesin azalan olduğundan birebirdir. O halde $\dfrac{1}{4\cdot f(9)}+\dfrac{9}{6\cdot f(9)+1}=9$'dur.
Düzenlenirse, $216f^2(9)-6f(9)-1=0 \Longrightarrow \left(12f(9)-1\right)\cdot\left(18f(9)+1\right)=0 \Longrightarrow f(9)=\dfrac{1}{12}$ veya $f(9)=-\dfrac{1}{18}$'dir.
$f(9)=-\dfrac{1}{18}$ olsun. Verilen eşitlikte $x$ yerine $9$ yazılırsa $f(9)\cdot f\left(f(9)+\dfrac{3}{18}\right)=\dfrac{1}{4} \Longrightarrow -\dfrac{1}{18} \cdot f\left(\dfrac{1}{9}\right)=\dfrac{1}{4} \Longrightarrow f\left(\dfrac{1}{9}\right)=-4,5$ bulunur. Ancak fonksiyon kesin azalandır ve $\dfrac{1}{9} < 9$ olduğundan $-4,5>-\dfrac{1}{18}$ olmalıdır. Çelişki.
O halde $f(9)=\dfrac{1}{12}$'dir.