19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları

[ERhan ERdoğan]

16. $S=\sum_{k=0}^{9}\left ( \left \lfloor \dfrac{3^{20}}{3^{10}+3^{k}} \right \rfloor +\left \lfloor \dfrac{3^{20}}{3^{10}+3^{20-k}} \right \rfloor \right )$ toplamının  $9$' a bölümünden kalan kaçtır? (Burada $\left \lfloor x \right \rfloor$ ifadesi, $x$ sayısının tamdeğerini göstermektedir).

$
\textbf{a)}\ 8
\qquad\textbf{b)}\ 0
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ 3
$

[ERhan ERdoğan]

17. $a_{1},a_{2},a_{3},\cdots$ pozitif sayıları, her $n \in \mathbb{N}$ için, $a_{n+1}=\sqrt{a_{n}^2+1}$ eşitliğini sağlıyor. Eğer, $a_{2^k}=3\cdot a_{k}$ eşitliği sağlanacak şekilde bir $k \in \mathbb{N}$ değeri bulunuyorsa, $a_{11}$  değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ 5\sqrt{2}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{5\sqrt{2}}{4}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{5\sqrt{2}}{2}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{11\sqrt{2}}{2}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{9\sqrt{2}}{4}
$

[ERhan ERdoğan]

18. Pascal üçgeninin ''Şehrazad Satırı'' diye adlandırdığımız, $$1,1001, \cdots ,1001,1$$ şeklindeki, $1001$'inci satırındaki sayılardan kaç tanesi $5$'e bölünmez?

$
\textbf{a)}\ 48
\qquad\textbf{b)}\ 16
\qquad\textbf{c)}\ 24
\qquad\textbf{d)}\ 36
\qquad\textbf{e)}\ 30
$

[ERhan ERdoğan]

19. $ABCD$ kirişler dörtgeninde $[AC]$ve $[BD]$ köşegenlerinin kesişim noktası $E$ olsun. $|AB|=|BC|=|CA| , |BE|=20$ ve $|ED|=5$ olduğuna göre, $|AB|$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ 13\sqrt{5}
\qquad\textbf{b)}\ 9\sqrt{5}
\qquad\textbf{c)}\ 10\sqrt{5}
\qquad\textbf{d)}\ 12\sqrt{5}
\qquad\textbf{e)}\ 11\sqrt{5}
$

[ERhan ERdoğan]

20. $ABCD$ dışbükey dörtgeninde, $m\left ( \widehat{BAC} \right )=40^{\circ}, m\left ( \widehat{ABD} \right )=m\left ( \widehat{CBD} \right )=20^{\circ}$ ve $m\left ( \widehat{CAD} \right )=100^{\circ}$ olduğuna göre $m\left ( \widehat{BDC} \right )$ kaç derecedir?

$
\textbf{a)}\ 18^\circ
\qquad\textbf{b)}\ 15^\circ
\qquad\textbf{c)}\ 12^\circ
\qquad\textbf{d)}\ 10^\circ
\qquad\textbf{e)}\ 5^\circ
$

Çözüm: $ABC$ üçgenine eş olan $ADE$ üçgeni çizelim ( $C$ ile $E$, $BD$ nin aynı tarafında olsun). $ACE$ eşkenar üçgen olacaktır.

Buna göre, $BDEC$ dörtgeni $|BC|=|CE|=|ED|$ ve $\angle{DBC}=\angle{BDE}=20^\circ$ olan ikizkenar yamuk (kirişler dörtgeni) olduğundan,

$\angle{BDC}=\angle{EDC}=10^\circ$ dir.   

[ERhan ERdoğan]

21.  $f(x)=x^{4}+3x^{3}+4x^{2}-5$ ve $g(x)=x^{4}-x^{3}-4x^{2}+5$ olmak üzere, $0<x\leq p$ koşulunu sağlayan bir $x$ tamsayısı için, $p$ asal sayısı $f(x)$ ve $g(x)$ i bölmektedir.Buna göre, $p$ asal sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
 
$
\textbf{a)}\ 8
\qquad\textbf{b)}\ 15
\qquad\textbf{c)}\ 26
\qquad\textbf{d)}\ 21
\qquad\textbf{e)}\ 19
$

[ERhan ERdoğan]

22. Tüm terimleri tamsayılar olan ve ilk $10$ terim içinde $1$ ve $31$ bulunan kaç farklı aritmetik dizi vardır?

$
\textbf{a)}\ 54
\qquad\textbf{b)}\ 66
\qquad\textbf{c)}\ 68
\qquad\textbf{d)}\ 60
\qquad\textbf{e)}\ 50
$

Çözüm: $d$ bu aritmetik dizinin ortak farkı olsun. $d \mid (31-1) \Rightarrow d \mid 30$ olur.Buna göre $ d \in \left \{1,2,3,5,6,10,15,30 \right \}$ dir.

$ i=\dfrac{30}{d}$ olmak üzere, bu terimler $a_{k} , a_{k+i} , (k \in \mathbb {N}^+)$ şeklinde dizilirler.

$d=30 \Rightarrow i=1$ dir. Terimler $a_{k} , a_{k+1}$ şeklinde, yani ardışık yerleştirilebilir. Mevcut durumların sayısı $9.2=18$

Benzer şekilde düşünerek, $d=15,10,6,5$ değerleri için sırasıyla $16,14,10,8$ durum olduğunu görebiliriz.

Toplam durum sayısı: $66$ dır.

   

[ERhan ERdoğan]

23. $m^4=n(9m-2n)$ denklemini sağlayan kaç $(m,n)$ tamsayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 9
\qquad\textbf{c)}\ 1
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ 7
$

Çözüm: Verilen eşitliği $n$ değişkenine bağlı ikinci dereceden denklem olarak $2n^2-9mn+m^4=0$ yazalım. $n$ in tamsayı değerleri için denklemin diskriminantı tamkare olmalıdır.

$\Delta = 81m^2-8m^4=m^2(81-8m^2)=x^2 \Rightarrow 81-8m^2=y^2$ olmalıdır.

$81-8m^2=y^2$ ifadesinde $y^2>0$ olduğundan, $m^2 < \dfrac{81}{8} \Rightarrow -3\leq m \leq 3$ olur.

$m= \left \{-3,-2,-1,0,1,2,3 \right \}$ değerlerini verilen denklemde deneyelim.

$m=-3 \Rightarrow n=-9/2 , n=-9$
$m=-2 \Rightarrow n=-1 , n=-8$
$m=-1 \Rightarrow n\notin \mathbb{Z}$
$m=0 \Rightarrow n=0 $
$m=1 \Rightarrow n\notin \mathbb{Z}$
$m=2 \Rightarrow n=1, n=8$
$m=3 \Rightarrow n=9/2 , n=9$

Buna göre verilen eşitliği sağlayan tamsayı ikilileri $\left \{(-3,-9),(-2,-8),(-2,-1),(0,0),(2,8),(2,1),(3,9) \right \}$ olup $7$ tanedir.

[ERhan ERdoğan]

24. $f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu kesin azalan bir fonksiyon olmak üzere, her $x\in \mathbb{R}^{+}$ için $$f(x)\cdot f\left ( f(x)+\dfrac{3}{2x} \right )=\dfrac{1}{4}$$ olduğuna göre, $f(9)=?$

$
\textbf{a)}\ \dfrac{1}{12}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{2}{3}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{6}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{3}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{1}{4}
$

[ERhan ERdoğan]

25. Bir $ABC$ üçgeninde $m\left ( \widehat{BAC} \right )=50^{\circ} , |AB|=7$ ve $|AC|=3\sqrt{3}$ tür. $D, [AB]$ üzerinde, $E$ ise $[AC]$ üzerinde noktalar olmak üzere, $|BE|+|CD|+|DE|$ toplamının alabileceği minimum değer kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \sqrt{140}
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{135}
\qquad\textbf{c)}\ \sqrt{139}
\qquad\textbf{d)}\ \sqrt{136}
\qquad\textbf{e)}\ \sqrt{142}
$


Çözüm:

$C$ nin $AB$ ye göre simetriği $C'$, $B$ nin $AC$ ye göre simetriği $B'$ olsun. $\angle B'AC' = 150^\circ$ olur.
$EC'=EC$ ve $B'D=BD$ olduğu için $ED+CE+BD=C'E+ED+DB'$ dür. $\min (C'E + ED + DB') = C'B'$
$\triangle B'AC'$ de, Kosinüs Teoreminden $B'C'^2 = AC'^2 + AB'^2 - AC' \cdot AB' \cdot \cos 150^\circ \Rightarrow B'C'=\sqrt{139}$ elde edilir.

[atillasansar]

İYİ ÇALIŞMALAR...

çözüm19.

[atillasansar]

İYİ ÇALIŞMALAR...

çözüm20.

[yusufipek]

çözüm6.

Önce Fizik kitaplarını tek yolla yerleştirelim. $–F-F-F-F-F-$ şeklinde olsun. Şimdi $–$ olan yerlere Matematik kitaplarını dağıtalım.

Bu ise; $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}=15 , x_{2},x_{3},x_{4},x_{5} \geq 2$ dağılımı ile özdeştir $\binom{7+6-1}{6-1}=792$ olur.

[yusufipek]

çözüm2.

$\dfrac{13^{n}+2}{3}=k^2 \Rightarrow 13^n+2=3k^2$ olur. $3k^2 \equiv 0,\pm1 , \pm3 , \pm4 \pmod{13}$ olup eşitliğin sol tarafı

$\pmod{13}$ de $2$ ye denk olduğundan bu koşulu sağlayan $n$ tamsayısı yoktur. 

[yusufipek]

çözüm-5