Tübitak Lise 1. Aşama 2002 Soru 26

[geo]

Üç bileşik tek sayının toplamı olarak yazılabilen tüm tam karelerin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \{(2k + 1)^2 : k \geq 0\}$
$\textbf{b)}\ \{(4k + 3)^2 : k \geq 1\}$
$\textbf{c)}\ \{(2k + 1)^2 : k \geq 3\}$
$\textbf{d)}\ \{(4k + 1)^2 : k \geq 2\}$
$\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[geo]

Yanıt: $\boxed{C}$

Üç tek sayının toplamı tektir.

$\begin{array}{rcll}
(2k+1)^2 &=& 4k^2 + 4k + 1 \\
&=& 9 + 4k^2 + 4k - 8 \\
&=& 9 + (k+2)k + (k+2)(3k-4) & (i)\\
&=& 9 + (k+1)(k-1) + (k+1)(3k-7) & (ii)\\
\end{array}$

$k$ tek olduğunda $(i)$ deki şekilde üç tek sayı seçilebilir.
$k$ çift olduğunda $(ii)$ deki şekilde üç tek sayı seçilebilir.
$k>2$ için tek sayıların bileşikliği garantilenir.

Wikipedia'daki bileşik sayı tanımına göre bileşik sayılar pozitif olup en az $3$ pozitif bölene sahip olmalı.
O halde en küçük bileşik tek sayı $9$ dur. $(2k+1)^2\geq 27 \Rightarrow k\geq 3$ olduğu için $49$ dan itibaren tüm tek kareler üç bileşik tek sayının toplamı şeklinde yazılabilir.