Tübitak Lise 1. Aşama 2002 Soru 24

[geo]

$ \left \lfloor \sqrt[3] {7n + 2} \right \rfloor = \left \lfloor \sqrt[3] {7n + 3} \right \rfloor $ eşitliğini sağlamayan kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 7
\qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{A}$

$\bmod 7$ de küp kalanlar $\{0,1,6\}$ dır.

Bu durumda, ($a \in \mathbb{Z}$), $a < \sqrt[3] {7n + 2} < a+1$ olduğunda $a^3 < 7n+2 < 7n+3<(a+1)^3$ olacağından $\sqrt[3] {7n + 2}$ ile $\sqrt[3] {7n + 3}$ ün tam kısımları her zaman aynıdır.