Tübitak Lise 1. Aşama 2002 Soru 06

[geo]

Ondalık yazılımı beş basamaklı bir sayının binler basamağı $3$ olup, bu sayı $37$ ve $173$ ile bölünüyorsa, bu sayının yüzler basamağı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ 8
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

$\overline{a3bcd} = 37 \cdot 173 \cdot x = 6401 \cdot x$ eşitliğini $\bmod{100}$ de incelersek $\overline{cd} \equiv x \pmod {100}$ elde edilir.
$x<20$ olduğu aşikar. Bu durumda $x = \overline{cd}$ dir. ($c=0$ olabilir.)

$\overline{a3bcd} = 6401\cdot \overline{cd} \Rightarrow \overline{a3b00} + \overline {cd} = 6400\cdot \overline{cd} + \overline{cd} \Rightarrow \overline{a3b} = 64\cdot \overline {cd}.$ 

$4$ ile bölünebilme kuralından $b=2$ ya da $b=6$ dır.

$b=2$ için $\overline {a32} = 100a + 32 = 32 \cdot 2 \cdot \overline {cd} \Rightarrow 100a \equiv 4a \equiv 0 \pmod {32} \Rightarrow a =8.$
$832 \div 64 = 13 = \overline {cd}$.

$b=6$ için $\overline {a36} = 100a + 36 = 64 \cdot \overline {cd} \Rightarrow 100(a+1) = 64 \cdot (\overline{cd} + 1) \Rightarrow 25 \mid \overline{cd} + 1.$
Bu şartı sağlayan en küçük $\overline {cd}$ sayısı $24$ olduğu için buradan çözüm gelmez.

O halde $\overline{a3bcd} = 83213$.