Tübitak Lise 1. Aşama 2001 Soru 31

[geo]

$2^n + 65$ sayısının, bir tam sayının karesine eşit olmasını sağlayan en büyük $n$ tam sayısı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 1024
\qquad\textbf{b)}\ 268
\qquad\textbf{c)}\ 10
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

$2^n+65=m^2$ olsun.$\mod5$ te incelersek $2^n \equiv m^2 \pmod5$ olur. Ayrıca her $m$ tam sayısı için $m^2\equiv 0,1\pmod5$, her $n$ pozitif tek tam sayısı için $2^n \equiv 2,3 \pmod5$ olduğundan $n$ tek sayı iken çözüm yoktur. $n=2a$ diyelim. Denklem $m^2-2^{2a}=65$ şekline dönüşür. İki kare farkı özdeşliğinden $(m-2^a)(m+2^a)=65$ yazılır. $a$ nın en büyük olması için $m-2^a=1$ ve $m+2^a=65$ durumunu incelemeliyiz. Buradan $m=33$, $a=5$ olup $n=10$ en büyük değeri elde edilir.