Tübitak Lise 1. Aşama 2001 Soru 29

[geo]

$AB \parallel CD$ olan ikizkenar bir $ABCD$ yamuğunun tüm kenarları bir çembere teğettir. $[AD]$ nin bu çembere değme noktası $N$; $NC$ ve $NB$ doğrularının çemberi $N$ dışında kestiği noktalar sırasıyla $K$ ve $L$ ise, $\dfrac{|BN|}{|BL|} + \dfrac{|CN|}{|CK|}$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 8
\qquad\textbf{d)}\ 9
\qquad\textbf{e)}\ 10
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{E}$

$ABCD$ ikizkenar yamuğunda içteğet çemberin merkezinden taban ve tavana dikmeler indirildiğinde, bu değme noktaları ve iç merkez doğrusal olacaktır. Bu doğru yamuğun simetri ekseni olacaktır.

$AN=x$ ve $DN=y$ olsun.

$B$ noktasının içteğet çembere göre kuvvetinden $BL\cdot BN = x^2 \Rightarrow \dfrac{BN}{BL} = \dfrac{BN^2}{x^2}$,

$C$ noktasının içteğet çembere göre kuvvetinden $CK\cdot CN = y^2 \Rightarrow \dfrac{CN}{CK} = \dfrac{CN^2}{y^2}$.

$\angle BAD = \alpha$ dersek, $BN^2 = 5x^2 - 4x^2\cdot \cos \alpha$ ve $CN^2 = 5y^2 + 4y^2\cdot \cos \alpha$ olur.

Bu durumda, $\dfrac{BN}{BL} + \dfrac{CN}{CK} = 5 - 4\cos \alpha + 5 + 4\cos \alpha = 10$ elde edilir.


Test Mantığı:

$ABCD$ yi neredeyse kare olan bir ikizkenar yamuk olarak düşünebiliriz. Bu durumda problem $1-2-\sqrt 5$ dik üçgeni ve çemberde kuvvet sorusuna dönüşüyor.

[geo]

Önceki çözümdeki gibi $AN=x$, $DN=y$ değişkenlerini kullanırsak $\dfrac{BN}{BL} = \dfrac{BN^2}{x^2}$ ve $ \dfrac{CN}{CK} = \dfrac{CN^2}{y^2}$ elde ederiz.

$[AD$ üzerinde $[AD]$ dışında $M$ noktası $\triangle CMD \sim \triangle BNA$ olacak şekilde $M$ noktası aldığımızda $\dfrac {CM^2} {y^2} = \dfrac{BN^2}{x^2}$ olacaktır. Bu durumda, $$\dfrac{BN}{BL} + \dfrac{CN}{CK} = \dfrac{CM^2}{y^2} + \dfrac{CN^2}{y^2} = \dfrac{CM^2+CN^2}{y^2} $$ olacaktır.
$\triangle CMN$ de kenarortay teoreminden $CM^2 + CN^2 = 2(y^2 + 4y^2) = 10y^2$ olacağı için $\dfrac{BN}{BL} + \dfrac{CN}{CK} = 10$ elde edilir.