Tübitak Lise 1. Aşama 2001 Soru 28

[geo]

$A,B,C,D,E$ kasabaları çember biçmindeki bir yol üstünde, saat yönünde $A$ ile $B$, $B$ ile $C$, $C$ ile $D$, $D$ ile $E$ ve $E$ ile $A$ arasındaki yolların uzunlukları sırasıyla $5$, $5$, $2$, $1$ ve $4$ km olacak şekilde yer alıyor. Bu yol üstünde kurulacak bir sağlık ocağının yeri, sağlık ocağından bu kasabalara giden en kısa yolların uzunluklarının maksimumunu en aza indirecek biçimde seçilmek isteniyor. Bu koşulu sağlayan kaç yer vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{C}$

$A(0), B(5), C(10), D(12), E(13)$ noktalarını çember üzerinde alalım. Sağlık ocağını da $S$ ile gösterelim.

$AB$ büyük yayının orta noktası $A_1(11)$ olsun. Sağlık ocağı bu noktaya kurulursa, sağlık ocağı en uzak kasabalara ($A$ ve $B$) $6$ km. uzaklıkta olacaktır. Bu da demektir ki, aradığımız uzaklık $6$ km. den büyük olamaz.

$A_2(6)$ olmak üzere; sağlık ocağı $\overset{\Huge\frown}{A_1A}$ ya da $\overset{\Huge\frown}{AA_2}$ küçük yayları üzerinde olmalıdır. Yani $\overset{\Huge\frown}{A_1AA_2}$ yayı üzerinde olmalıdır.
Benzer şekilde $B_1(16)$ ve $B_2(11)$ olmak üzere; $S \in \overset{\Huge\frown}{B_1BB_2}$ olmalı.
$C_1(16)$ ve $C_2(4)$ olmak üzere; $S \in \overset{\Huge\frown}{C_2CC_1}$ olmalı.
$E_1(2)$ ve $E_2(7)$ olmak üzere; $S \in \overset{\Huge\frown}{E_2EE_1}$ olmalı.

Bu dört aralığın kesişim kümesi sadece $A_1(11)=B_2(11)$ noktası ile $B_1(16) = C_1(16)$ noktasıdır.

Bu iki noktanın $D$ ye uzaklıkları $6$ km. den küçük olduğu için, bu iki nokta da sorudaki koşulu sağlar.