Tübitak Lise 1. Aşama 2001 Soru 23

[geo]

$9, 99, 999, \dots$ dizisi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

$\textbf{a)}$ Bu dizinin hiç bir terimini bölmeyen asal sayılar sonlu sayıdadır.
 
$\textbf{b)}$ Sonsuz çoklukta asal sayı, bu dizinin sonsuz çoklukta terimini böler.

$\textbf{c)}$ Her $n$ pozitif tam sayısı için, bu dizinin $n$ den çok sayıda farklı asal sayı ile bölünen bir terimi vardır.

$\textbf{d)}$ Öyle bir $n$ tam sayısı vardır ki, $n$ den büyük her asal sayı, bu dizinin sonsuz çoklukta terimini böler.

$\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[geo]

Yanıt: $\boxed{E}$

Diziyi $\{a_k\}_{k=1}^{\infty} = 10^k-1$ şeklinde tanımlayalım.

$a)$ öncülü doğrudur. $(10,p)=1$ şeklinde her $p$ asal sayısı için, Fermat'tan, $p \mid a_{p-1}$ dir. O halde, $p \nmid a_k$ şeklinde sadece $2$ asal sayı vardır. $p=2,5$.

$b)$ öncülü doğrudur. Bu dizinin bir terimini bölen her $p$ asal sayısı için, $ \{k_r\}_{r=1}^{\infty}=(p-1)\cdot r$ asal sayısı için, $p \mid a_{k_r}$ dir.

$c)$ öncülü doğrudur. Herhangi farklı $p_1, p_2, \dots, p_n \in \mathbb{P}-\{2,3,5\}$ asal sayıları için $k=2(p_1-1)(p_2-1)\cdots(p_n-1)$ aldığımızda, $a_k$ sayısı, $3,p_1,p_2,\dots, p_n$ sayılarının hepsine bölünecektir.

$d)$ öncülü doğrudur. $b)$ öncülünde $2$, $5$ haricindeki her asal sayının dizinin sonsuz çoklukta terimini böldüğünü göstermiştir. O halde her $n>4$ sayısı için $n$ den büyük her asal sayı, bu dizinin sonsuz çoklukta terimini böler.