Yanıt: $\boxed{B}$
$n \times n$ için aradığımız yanıt $a_n$ olsun.
$n+1 \times n+1$ için $n\times n$ şekline gerekli eklemeleri yapalım. Önceki dikdörtgenlere ek olarak, yeni eklenen dikdörtgenlerin sol alt - sağ üst köşelerinden biri yeni eklenen köşelerden biri olacak. Satır indisinin yukarıdan başladığını düşünürsek, yeni dikdörtgenlerin sol alt köşesi yeni eklenen noktalardan oluşacak.
En soldaki sol-alt köşe için, $(n+1)$ adet aday sağ-üst köşe var.
İkincisi için, $(n-1)$ adet kareden $n$ adet paralel $2$ birimlik doğru parçaları oluşur. Buradan $2\cdot n$ aday sağ üst köşe gelir.
Devam ederserk, en sağdaki yeni sol-alt köşe için $(n+1) \cdot 1$ aday sağ-üst köşe gelecektir.
Bu durumda $$a_{n+1} = a_n + 1\cdot (n+1) + 2\cdot n + 3\cdot (n-1) + \cdots + (n-1)\cdot 3 + n \cdot 2 + (n+1) \cdot 1$$ olacaktır. Düzenlersek; $$a_{n+1} = a_{n} + \sum \limits_{i=1}^{n+1} i \cdot (n+2 - i) = a_n + (n+2)\sum \limits_{i=1}^{n+1} i - \sum \limits_{i=1}^{n+1} i^2$$ $$a_{n+1} = a_n + \dfrac{(n+2)(n+1)(n+2)}{2} - \dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$$ $$a_{n+1} = a_n + \dfrac{(n+1)(n+2)}{6} \cdot (3n+6 - 2n-3)$$ $$a_{n+1} = a_n + \dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6} = a_n + \binom{n+3}{3}$$ $$a_{n+1} = a_1 + \binom 43 + \binom 53 + \cdots + \binom {n+3}{3}$$ elde edilir. $a_1 = 1 = \binom 33$ olduğunu düşünürsek, $$a_{n+1} = \sum \limits_{i=3}^{n+3} \binom {i}{3}$$ olacaktır. $\binom {n-1}{m-1} + \binom {n-1}{m} = \binom {n}{m}$ olacağı için $\binom 33 + \binom 43 = \binom 44 + \binom 43 = \binom 54 $, $\binom 54 + \binom 53 = \binom 64$, $\dots$ şeklinde devam ettirirsek $$a_{n+1} = \binom {n+3}{3} + \binom {n+3}{4} = \binom{n+4}{4}$$ elde edilir. $n=9$ için $a_{10} = \binom {13}{4} = \dfrac{13\cdot 12 \cdot 10 \cdot 11 }{4 \cdot 3 \cdot 2} = 715$ elde edilir.
