Tübitak Lise 1. Aşama 2001 Soru 15

[geo]

$x^3 + 3x^2 + x + 3 \equiv 0 \pmod {25}$ denkliğinin, $25$ moduna göre farklı kaç çözümü vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{E}$

$(x^2+1)(x+3) \equiv (x^2-49)(x+3) \equiv (x-7)(x+7)(x+3) \equiv 0 \pmod {25}$

$x-7 \equiv x+3 \equiv 0 \pmod 5$ denkliğini sağlayan her $x$ sayısı sorudaki denkliği de sağlayacaktır. Buradan gelen çözümler: $x \in \{2,7,12,17,22\}$.
Bunlar haricinde $x+7 \equiv 0 \pmod {25}$ de bir çözümdür. O halde, tüm çözümler, $x \in \{2,7,12,17,18,22\}$, toplamda $6$ tanedir.