Tübitak Lise 1. Aşama 2001 Soru 10

[geo]

Her adımda tam olarak iki sayının yerleri değiştirilmek üzere, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ dizilişinden iki adımda elde edilebilecek farklı dizilişlerin sayısı nedir?

$
\textbf{a)}\ 88
\qquad\textbf{b)}\ 100
\qquad\textbf{c)}\ 120
\qquad\textbf{d)}\ 176
\qquad\textbf{e)}\ 441
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

İki adımda ortak bir sayı yoksa, $(a,b), (c,d)$ sayı çiftleri $\dfrac 12 \cdot \binom 72 \cdot \binom 52 = 105$ farklı şekilde seçilir.

İki adımda iki sayı ortaksa, yani çiftler aynıysa, $(a,b),(a,b)$, her zaman baştaki dizilim elde edilecek. O halde, bu şekilde $1$ farklı seçim vardır.

İki adımda bir sayı ortaksa, $a,b,c$, değişim sonucunda hiçbir sayı kendi yerinde olmayacak. Örneğin $a,b,c$ şeklinde bir dizilimden, ya $c,a,b$ ya da $b,c,a$ elde edilecek. Bu üç sayı $\binom 73$ şekilde seçileceğinden, bu şekilde elde edilecek dizilimlerin sayısı $2 \cdot \binom 73 = 70$ olacaktır.

Toplamda, $105+1+70=176$ farklı diziliş elde etmiş olduk.