Tübitak Lise 1. Aşama 2001 Soru 06

[geo]

Ondalık yazılımında tüm basamakları tek sayı olan $5$ basamaklı tam sayılardan kaç tanesinin en az iki ardışık basamağının toplamı $10$ dur?

$
\textbf{a)}\ 3125
\qquad\textbf{b)}\ 2500
\qquad\textbf{c)}\ 1845
\qquad\textbf{d)}\ 1190
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{C}$

$1,3,5,7,9$ kullanarak yazılabilecek sayıların sayısı $5^5$.

Hiçbir ardışık iki basamağın toplamının $10$ olmadığı durumları hesaplayalım:
İlk rakam $\binom{5}{1}$ şekilde seçilir. İkinci rakam, bu rakamın $10$'a tamamlayanı hariç herhangi biri olabilir $(4)$. Üçüncü rakam da ikincinin $10$'a tamamlayanı hariç herhangi biri olabilir $(4)$. Bu böyle gider. O halde, toplamda $\binom{5}{1}4^4$.

En az iki ardışık basamağının toplamının $10$ olduğu durumlar: $5^5 - \binom 51 4^4 = 5(5^4-4^4) = 5 (5^2-4^2)(5^2+4^2)=5 \cdot 9 \cdot 41 = 1845$.