Tübitak Lise 1. Aşama 2008 Soru 15

[ERhan ERdoğan]

$a_{1}=\dfrac{1}{3}$ ve her $n\geq 1$ için $a_{n+1}=\dfrac{a_{n}}{\sqrt{1+13a_{n}^{2}}}$ şeklinde tanımlanan $(a_{n})$ dizisinin $a_{k}<\dfrac{1}{50}$ koşulunu sağlayan en büyük terimi $a_{k}$ ise $k$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 194
\qquad\textbf{b)}\ 193
\qquad\textbf{c)}\ 192
\qquad\textbf{d)}\ 191
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap:$\boxed{B}$

Verilen denklemin karesini alırsak $$a_{n+1}^2=\dfrac{a_n^2}{1+13a_n^2}\implies \dfrac{1}{a_{n+1}^2}=13+\dfrac{1}{a_n^2}$$ olur. Yani $b_n=\dfrac{1}{a_n^2}$ olarak tanımlarsak $b_n$ dizisi ortak farkı $13$ olan bir aritmetik dizi olacağından $$b_n=b_1+13(n-1)=\dfrac{1}{a_1^2}+13n-13=13n-4\implies a_n=\dfrac{1}{\sqrt{13n-4}}$$ olacaktır. Dolayısıyla $$a_k<\dfrac{1}{50}\implies 50<\sqrt{13k-4}\implies \dfrac{50^2+4}{13}<k\implies 193\leq k$$ olur. $a_n$ ifadesi bariz bir şekilde azalan olduğundan en büyük $a_k$ değeri $k$ en ufakken elde edilir. Yani $k=193$ olmalıdır.