Tübitak Lise 1. Aşama 2008 Soru 17

[ERhan ERdoğan]

$B$ açısı dik olan $ABC$ üçgeninin $A$ ve $C$ köşeleri, $B$ merkezli $20$ birim yarıçaplı çeyrek çemberin üzerindedirler. Bu çeyrek çemberin iç bölgesine $[AB]$ çaplı bir yarım çember çizilmiştir. $C$ noktasından yarım çembere çizilen teğetin değme noktası $B$’den farklı bir $D$ noktası ve $CD$ doğrusunun çeyrek çemberi kestiği nokta $F$ dir. Buna göre $|FD|$ kaç birimdir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{5}{2}
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

[geo]

Yanıt: $\boxed D$

Cevap: $4$. $[AB]$ nin orta noktası $E$ olsun. $E$ noktası yarım çemberin merkezi olduğundan $|ED|=10$ ve $ED \perp D C$ dir. $C B$ ve $CD$ doğruları çeyrek çembere teğet olduğundan $|CB|=|CD|=20$ dir. $F$ noktası çeyrek çember üzerinde olduğundan $|BF|=20$ dir. $\angle BCE=\alpha$ olsun. $\angle ECD=\alpha$ olur. $BFC$ üçgeni eşit iki açısı $2 \alpha$ olan ikizkenar bir üçgen olduğundan $|CF|=2|BC| \cos 2 \alpha$ olur. $BEC$ dik üçgen olduğundan Pisagor teoreminden $|EC|=10 \sqrt{5}$ ve buradan da $\cos \alpha=2 / \sqrt{5}$ elde edilir. Buradan da $\cos 2 \alpha=2 \cos ^2 \alpha-1=3 / 5$ ve böylece $|CF|=24,|FD|=24-20=4$ olur.

Kaynak: Tübitak 16. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2008