Tübitak Lise 1. Aşama 2008 Soru 18

[ERhan ERdoğan]

Kaç tane $n$ pozitif tam sayısı için $\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}}$ tam sayıdır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Erdal1122]

Yanıt: $\boxed E$

$\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}}$ sayısının tam sayı olabilmesi için $\sqrt{n}$ sayısının tam sayı olması gerekir.
Dolayısıyla $n$ sayısının $k$ pozitif bir tam sayı olmak üzere $n=k^2$ şeklinde olması gerekir. $n$ yerine $k^2$ yazalım. İçeride kalan $k^2+k$ ifadesinin eşiti $k(k+1)$ olduğundan bu ifadeyi tam kare yapacak bir $k$ pozitif tam sayısı yoktur.