Tübitak Lise 1. Aşama 2008 Soru 20

[ERhan ERdoğan]

$a_{1},a_{2},a_{3},\dots,a_{2008}$ tam sayılarından her biri en az $1$ en çok ise $5$ tir. $\left( a_{n},a_{n+1} \right)$ ikilisine, $a_{n}<a_{n+1}$ ise artan ikili, $a_{n}>a_{n+1}$ ise azalan ikili diyelim. Dizideki artan ikili sayısı $103$ tane ise azalan ikili sayısı en az kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 21
\qquad\textbf{b)}\ 24
\qquad\textbf{c)}\ 36
\qquad\textbf{d)}\ 102
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Egemen]

(Egemen Erbayat)

Cevap:$\boxed E$

Azalan ikili sayısını az tutmak için ardarda olan artan ikililerin sayısını olabildiğince çok yapmalıyız.
$1, 2, 3, 4, 5$ dizisi ardarda olan artan ikililerin sayısının en fazla olduğu dizidir ve bu sayı $4$'tür. ($5$'ten sonra mecburen $5$ veya $5$'ten küçük bir sayı geleceği için başka artan ikili olmayacaktır..)

Azalan ikili sayısının en az olduğu durumda $4$ artan ikiliye $1$ tane azalan ikili gelmektedir.
$\left [|\dfrac{103}{4}|\right ]=25$ tane azalan ikili vardır.

Son artan ikili $a_{128}-a_{129}$'dur Sonrası için $a_{129}=a_{130}=\dots =a_{2008}$ şeklinde yazarsak istenilen duruma ulaşırız