Tübitak Lise 1. Aşama 2008 Soru 21

[ERhan ERdoğan]

$ABC$ dik üçgeninde $m\left ( \widehat{A} \right )=90^{\circ}$ olsun. $P\in[AC] , Q\in[BC] , R\in[AB]$ olacak şekildeki $APQR$ karesinin alanı $9, N,K\in[BC] , M\in[AB]$ ve $L\in[AC]$ olacak şekildeki $KLMN$ karesinin alanı da $8$ ise $|AB|+|AC|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 8
\qquad\textbf{b)}\ 10
\qquad\textbf{c)}\ 12
\qquad\textbf{d)}\ 14
\qquad\textbf{e)}\ 16
$

[geo]

Yanıt: $\boxed C$

Cevap: $12$. $|AB|=x,|BC|=y$ olsun. $\triangle QRB \sim \triangle CAB$ olduğundan $(x-3) / x= 3 / y$ ve buradan da $xy=3(x+y)$ olur. $A$ dan geçen yüksekliğin ayağı $E$ olsun. $\triangle MNB \sim \triangle AEB$ ve $\triangle ALM \sim \triangle ACB$ benzerliklerini kullanarak $|MB| /|AB|= |MN| / |AE|$ ve $|MA| / |AB|=|ML| / |BC|$ elde ederiz. Bu iki eşitliği taraf tarafa toplayıp $|BC|=\sqrt{x^2+y^2}$ ve $|AE|=xy / \sqrt{x^2+y^2}$ eşitliklerini kullanarak $\sqrt{2} / 4= 1 / \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2+y^2} / x y$ denklemini buluruz. $x+y=a$ dersek $x y=3 a$ ve $\sqrt{x^2+y^2}=a^2-6 a$ olacağından son denklem $\sqrt{2} / 4=1 / \sqrt{a^2-6 a}+\sqrt{a^2-6 a} /(3 a)$ şeklindedir. Bu denklemi düzenlersek $4(a-3)=3 \sqrt{2 a^2-12 a}$ elde ederiz. Buradan da her iki tarafın karesini alarak $(a-12)(a+6)=0$ ve $a>0$ olduğundan $|A B|+$ $|B C|=a=12$ buluruz.

Kaynak: Tübitak 16. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2008