Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2008 Soru 22  (Okunma sayısı 1258 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1408
  • Karma: +12/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2008 Soru 22
« : Nisan 27, 2014, 02:08:38 öö »
Kaç $a\geq b$ şartını sağlayan $(a,b)$ pozitif tam sayı ikilisi için $a^2+b^2$ ifadesi $a^3+b$ ve $a+b^3$ ifadelerini böler?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz sayıda}
$

Çevrimdışı Erdal1122

  • G.O Yeni Üye
  • *
  • İleti: 5
  • Karma: +0/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2008 Soru 22
« Yanıtla #1 : Mart 22, 2020, 02:21:33 öö »
$a^2+b^2$ ifadesinin $a^3+b$ ve $a+b^3$ ifadelerini böldüğünü kabul edelim.
 
$a^2+b^2$ ifadesi bu ifadeleri ayrı ayrı bölebildiği için toplamlarını ve farklarını da bölebilir.
$a^3+b^3+a+b$ ve $a^3-b^3+a-b$ ifadelerini çarpanlarına ayıralım.

$(a+b)(a^2-ab+b^2+1)$, $(a-b)(a^2+ab+b^2-1)$

Her iki ifadeyi $mod  a^2+b^2$'de incelediğimizde
$(a+b)(1-ab)$ ve $(a-b)(ab-1)$ elde ederiz.

$a^2+b^2$ hala bunları bölebilir. Yani bunların fark ve toplamlarını da bölebilir.
Toplayalım, $2b(1-ab)$ gelir. Bu ifadenin $a^2+b^2$'ye bölünebilmesi için $a$=$bk$ olmalıdır.

$b^2(k^2+1)|2b(1-kb^2)$ olmalıdır ki bölende $b^2$ varken bölümde $b$ vardır. Yani $b$=$1$ veya $b$=$2$ olabilir.

$a+b^3$ ve $a^3+b$ ifadelerinde $b$'yi iki değer için ayrı ayrı yazarsak $b$=$2$ için $a^2+4|-34$ ve $b$=$1$ için $a^2+1|-2$ gelir.

$b$=$2$ için çözüm yoktur ve $b$=$1$ için tek çözüm $a$=$1$'dir.

Yanıt: B

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 348
  • Karma: +7/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2008 Soru 22
« Yanıtla #2 : Mart 22, 2020, 08:24:24 öö »
Toplayalım, $2b(1-ab)$ gelir. Bu ifadenin $a^2+b^2$'ye bölünebilmesi için $a$=$bk$ olmalıdır.

Neden?
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

Çevrimdışı Erdal1122

  • G.O Yeni Üye
  • *
  • İleti: 5
  • Karma: +0/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2008 Soru 22
« Yanıtla #3 : Mart 22, 2020, 03:45:56 ös »
Toplayalım, $2b(1-ab)$ gelir. Bu ifadenin $a^2+b^2$'ye bölünebilmesi için $a$=$bk$ olmalıdır.

Neden?

Evet o olmamış sanki onun yerine
$(a,b)$ebob=$m$
$a$=$xm$
$b$=$ym$ deyip toplamlarından $m$2($x$2+$y$2)|2$ym$($1$-$m$2$xy$)
farklarından  $m$2($x$2+$y$2)|2$xm$($m$2$xy$-$1$) yazalım.
$m$($x$2+$y$2)|2$y$($1$-$m$2$xy$), $m$($x$2+$y$2)|2$x$($m$2$xy$-$1$)'dir.
$m$; ($m$2$xy$-$1$), $x$, $y$ ile aralarında asal olduğundan $m$=$1$ veya $m$=$2$'dir.
$2$ olamaz çünkü ilk ifadelerde $a$ ve $b$'yi yazarsak $4$($x$2+$y$2) ifadesi $4$'e bölünürken $8x$3+$2y$ ve $2x$+$8y$3 ifadeleri $4$'e bölünemez.
O halde $m$=$1$'dir.
Aralarında asal olan $a$, $b$ sayıları için $a$2+$b$2|$2b(1-ab)$ ifadesi sadece $2b(1-ab)$=$0$ için sağlayacağından ($a$2+$b$2, $b$ ile aralarında asal ve $a$2+$b$2>|$2$-$2ab$| olduğundan) $ab$=$1$'dir. Bunu sağlayan tek pozitif tam sayı ikilisi $a$=$1$ ve $b$=$1$'dir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal