Tübitak Lise 1. Aşama 2008 Soru 24

[ERhan ERdoğan]

$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}$ ve $a_{6}$ sayıları $\left \{ -1,0,1 \right \}$ kümesinin elemanları olmak üzere,$$a_{1}\cdot 5^{1}+a_{2}\cdot 5^{2}+a_{3}\cdot 5^{3}+a_{4}\cdot 5^{4}+a_{5}\cdot 5^{5}+a_{6}\cdot 5^{6}$$ ifadelerine bakalım.Bu ifadelerin kaç tanesi negatif değer alır?

$
\textbf{a)}\ 121
\qquad\textbf{b)}\ 224
\qquad\textbf{c)}\ 275
\qquad\textbf{d)}\ 364
\qquad\textbf{e)}\ 375
$

[Egemen]

(Egemen Erbayat)

Cevap:$\boxed D$

$5^1+5^2+5^3+5^4+5^5\lt 5^6$ olduğu için $5^6$ katsayısı üzerinden gidelim.

Eğer $-1$ ise $a_{1}\cdot 5^{1}+a_{2}\cdot 5^{2}+a_{3}\cdot 5^{3}+a_{4}\cdot 5^{43}+a_{5}\cdot 5^{5}\lt |-5^6|$ olduğu için sayı her zaman negatiftir. $3^5$ değer alır.
Eğer $1$ ise $a_{1}\cdot 5^{1}+a_{2}\cdot 5^{2}+a_{3}\cdot 5^{3}+a_{4}\cdot 5^{4}+a_{5}\cdot 5^{5}\lt 5^6$ olduğu için sayı her zaman pozitiftir.
Eğer $0$ ise $5^1+5^2+5^3+5^4\lt 5^5$ olduğu için $5^5$ katsayısı üzerinden gidelim.

Eğer $-1$ ise $a_{1}\cdot 5^{1}+a_{2}\cdot 5^{2}+a_{3}\cdot 5^{3}+a_{4}\cdot 5^{4}\lt |-5^5|$ olduğu için sayı her zaman negatiftir. $3^4$ değer alır.
Eğer $1$ ise $a_{1}\cdot 5^{1}+a_{2}\cdot 5^{2}+a_{3}\cdot 5^{3}+a_{4}\cdot 5^{4}\lt 5^5$ olduğu için sayı her zaman pozitiftir.
Eğer $0$ ise $5^1+5^2+5^3\lt 5^4$ olduğu için $5^4$ katsayısı üzerinden gidelim.

Eğer $-1$ ise $a_{1}\cdot 5^{1}+a_{2}\cdot 5^{2}+a_{3}\cdot 5^{3}\lt |-5^4|$ olduğu için sayı her zaman negatiftir. $3^3$ değer alır.
Eğer $1$ ise $a_{1}\cdot 5^{1}+a_{2}\cdot 5^{2}+a_{3}\cdot 5^{3}\lt 5^4$ olduğu için sayı her zaman pozitiftir.
Eğer $0$ ise $5^1+5^2\lt 5^3$ olduğu için $5^3$ katsayısı üzerinden gidelim.

Eğer $-1$ ise $a_{1}\cdot 5^{1}+a_{2}\cdot 5^{2}\lt |-5^3|$ olduğu için sayı her zaman negatiftir. $3^2$ değer alır.
Eğer $1$ ise $a_{1}\cdot 5^{1}+a_{2}\cdot 5^{2}\lt 5^3$ olduğu için sayı her zaman pozitiftir.
Eğer $0$ ise $5^1\lt 5^2$ olduğu için $5^2$ katsayısı üzerinden gidelim.

Eğer $-1$ ise $a_{1}\cdot 5^{1}\lt |-5^2|$ olduğu için sayı her zaman negatiftir. $3^1$ değer alır.
Eğer $1$ ise $a_{1}\cdot 5^{1}\lt 5^2$ olduğu için sayı her zaman pozitiftir.
Eğer $0$ ise $0\lt 5^1$ olduğu için $5^1$ katsayısı üzerinden gidelim.

Eğer $-1$ ise $0\lt |-5^1|$ olduğu için sayı her zaman negatiftir. $3^0$ değer alır.
Eğer $1$ ise $0\lt 5^1$ olduğu için sayı her zaman pozitiftir.
Eğer $0$ ise ifademizde 0 olur.

Sonuç:$3^5+3^4+3^3+3^2+3^1+3^0=\dfrac{3^6-1}{3-1}=364$