Tübitak Lise 1. Aşama 2008 Soru 27

[ERhan ERdoğan]

Bir üçgenin açıları olan $\alpha ,\beta ,\gamma $ bir aritmetik dizi oluşturuyorlar. $\sin 20\alpha$, $\sin 20\beta $ ve $\sin 20\gamma$ da aritmetik dizi oluşturuyorsa, $\alpha$ kaç farklı değer alabilir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Soruda $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ için bu sırada aritmetik dizi oluşturup oluşturmadığını söylemediğinden herhangi bir sırada oluşturabildiklerini düşünüyorum.

Genelliği bozmadan $\alpha\leq \beta\leq \gamma$ diyelim, daha sonra bulgular üzerinden diğer durumlar için de sonuç bulabiliriz. $\alpha=\beta-x$ ve $\gamma=\beta+x$ yazarsak, $\alpha+\beta+\gamma=2\pi$ olduğundan $\beta=\frac{2\pi}{3}$ bulunur. Açılar üçgen açıları olduğundan $0\leq x<\frac{2\pi}{3}$ olmalıdır. $$\sin{20\beta}=\sin{\frac{40\pi}{3}}=\sin{\frac{4\pi}{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Eğer $\sin{20\alpha}+\sin{20\gamma}=2\sin{20\beta}$ ise $$\sin{\left(\frac{40\pi}{3}+20x\right)}+\sin{\left(\frac{40\pi}{3}-20x\right)}=2\sin{\frac{40\pi}{3}}\cos{20x}$$ olduğundan $$2\sin{20\beta}=\sin{\frac{40\pi}{3}}=2\sin{\frac{40\pi}{3}}\cos{20x}\implies \cos{20x}=1\implies 20x=2\pi n\implies x=\frac{\pi n}{10}$$ olarak bulunur ($n\in\mathbb{Z}$). $0\leq x<\frac{2\pi}{3}$ olduğunu göz önünde bulundurursak $$0\leq \frac{\pi n}{10}<\frac{2\pi}{3}\implies 0\leq n<\frac{20}{3}\implies 0\leq n\leq 6$$ Dolayısıyla en az $7$ adet $n$ değeri ve burada gelen $7$ adet $x$ değeri vardır. Cevap her türlü hiçbiri olacağından diğer durumlara bakmaya gerek yoktur. $7$'den fazla çözüm vardır.