Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 33

[geo]

Bir $ABCD$ karesinin $[AB]$ kenarı üstünde bir $K$ noktası, $[BC]$ kenarı üstünde de bir $L$ noktası alınıyor. $|AK|=3$, $|KB|=2$ ve $K$ nin $DL$ doğrusuna uzaklığı $3$ ise, $|BL|:|LC|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac 78
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac {\sqrt 3}2
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac 87
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac 38
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{\sqrt 2}{2}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{A}$

$K$ nin $AD$ ve $DL$ ye olan uzaklıkları $3$ olduğu için, $DK$; $\angle ADL$ nin açıortayıdır.
$\angle DLC = \angle ADL = 2\alpha$ olsun.
$$\tan \alpha = \dfrac 35 \Rightarrow \tan 2\alpha = \dfrac{2\tan \alpha}{1-\tan^2\alpha} = \dfrac{2\cdot \frac 35}{1-\frac 9{25}} = \dfrac{15}{8}$$ olacaktır. $$DC=15k=BC \Rightarrow LC=8k \Rightarrow BL = 7k \Rightarrow BL:BC = \dfrac 78$$

[geo]

$K$ nin $AD$ ve $DL$ ye olan uzaklıkları $3$ olduğu için, $DK$; $\angle ADL$ nin açıortayıdır.
$[BC$ üzerinde $[BC]$ nin dışında $DL=LN$ olacak şekilde bir $N$ noktası alalım.
$$\triangle DCN \cong \triangle DAK$$ olacaktır. Bu durumda, $DL=LN=LC+3$ olacağından, Pisagor'dan $$DL^2 = LC^2 + DC^2 = LC^2 + 25 = LC^2 + 6\cdot LC + 9 \Rightarrow LC = \dfrac 83 \Rightarrow BL=\dfrac 73 \Rightarrow BL:LC = \dfrac 78$$ olarak elde edilir.