Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 30

[geo]

$0\leq x, y < 31$ olmak üzere, $(x^2-18)^2 \equiv y^2 \pmod {31}$ denkliğini sağlayan kaç $(x,y)$ tam sayı sıralı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 59
\qquad\textbf{b)}\ 60
\qquad\textbf{c)}\ 61
\qquad\textbf{d)}\ 62
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

$f(x)=x^2 -18 $ olsun. Her $x$ sayısı için,
$$f^2(x) \equiv y^2 \pmod{31}$$ denkliğinin $$y \equiv f(x) \pmod{31} \text{ ve } y \equiv -f(x) \pmod{31}$$ olmak üzere, $2$ çözümü vardır. Bu son ifade biraz yanlış $f(x) \equiv 0 \pmod {31}$ ise $f^2(x) \equiv y^2 \pmod{31}$ denkliğinin $1$ çözümü vardır. $$f(x) \equiv x^2 - 18 \equiv 0 \pmod {31} \Rightarrow x \equiv \pm 7 \pmod{31}$$ olacağı için, $x=7$ için $1$ adet $y$; $x=31-7=24$ için $1$ adet $y$, geri kalan $29$ $x$ değeri için ise $2$ şer adet $y$ vardır. Bu durumda, toplamda $2\times 29 + 1 + 1 = 60$ çözüm vardır.

Not: Mustafa Töngemen'e ait 2008 yılı basımlı Tübitak Matematik Olimpiyatı Soru ve Çözümleri kitabında cevap $(D)$ olarak verilmiştir. Oradaki çözüm hatalıdır.