Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 29

[geo]

$O_1$ ve $O_2$ merkezli birbirine dıştan teğet iki çemberin ortak dış teğet doğrularından biri çemberlere sırasıyla $B$ ve $C$ noktalarında değiyor. Çemberlerin ortak noktası $A$ olmak üzere $BA$ doğrusu $O_2$ merkezli çemberi $A$ ve $D$ noktalarında kesiyor. $|BA|=5$ ve $|AD|=4$ ise $|CD|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \sqrt {20}
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{27}
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{15}{2}
\qquad\textbf{e)}\ 4\sqrt 5
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{C}$

$A$ dan geçen ve çemberlere teğet olan $\ell$ doğrusu $BC$ yi $E$ de kessin. $$\angle ABC = \angle BAE = \angle (AD, \ell) = \angle DCA$$ olduğu için, $$DA\cdot DB = DC^2 \Rightarrow 4\cdot 9 = DC^2 \Rightarrow DC = 6$$ dır.
Niye? Çünkü $\angle DCA =\angle ABC$ olduğu için $\triangle DCA \sim \triangle DBC$ dir. Benzerlik oranları yazılırsa, $\dfrac 4{DC} = \dfrac {DC}9 \Rightarrow DC=6 $ elde edilir. Her seferinde, bu benzerliği yazmak yerine $\angle DCA = \angle DBC$ bağıntısı varsa doğrudan $DA\cdot DB = DC^2$ diyebiliriz. Dikkat ettiyseniz, bu çemberdeki kuvveti (teğet durumunda) hatırlatıyor. Gerçekten de öyle, $\angle DCA = \angle DBC$ ise $DC$ doğrusu, $\triangle ABC$ nin çevrel çemberine teğettir (teğet-kiriş açı = çevre açı). Bu durumda $D$ noktasının $(ABC)$ çemberine göre kuvveti $DC^2 = DA\cdot DB $ olacaktır.

[geo]

$A$ dan geçen ve çemberlere teğet olan doğru $BC$ yi $E$ de kessin.
$$AE = EB \text{ ve } AE=EC$$ olacağı için $\angle BAC = 90^\circ$ dir. Bu durumda, $DC$ çaptır. Bu durumda, $DC\perp BC$ olacağı için, $\triangle BCD$ bir dik üçgendir. Öklit'ten $$DC^2 = DA\cdot DB \Rightarrow DC= 6$$ olacaktır.

NOT:
Öklit'in bu bağıntısı, Çözüm 1'de anlatılan bağıntının özel halidir.

NOT 2:
$D$ den diğer çembere çizilen teğetin değme noktası $T$ olsun. Öklid'den ve kuvvetten $DT=DC$ olacaktır.
Bu durumda 2000/13 sorusunun aynısını elde etmiş olduk. Yani aynı sınavda benzer iki soru sorulmuş.