Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 28

[geo]

$\begin{array}[t]{lll}f_1(x) = x^2 +x & f_2(x) = 2x^2 -x & f_3(x) = x^2 +x\\
g_1(x) = x -2 & g_2(x) = 2x & g_3(x) = x+2\end{array}$

olmak üzere, fonksiyonlar üzerinde tanımlı toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri kullanılarak, $i\in\{1,2,3\}$ olmak üzere $f_i$ ve $g_i$ fonksiyonlarından $h(x)=x$ fonksiyonu elde edilebiliyorsa, $F_i = 1$; aksi halde $F_i = 0$ olarak tanımlanıyor. $(F_1, F_2, F_3)$ nedir?

$
\textbf{a)}\ (0,0,0)
\qquad\textbf{b)}\ (0,0,1)
\qquad\textbf{c)}\ (0,1,0)
\qquad\textbf{d)}\ (0,1,1)
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

$f_i(a) = A$ ve $g_i(a) = B$ olsun. $h_i(a)=a$ olacaktır. Toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri kullanılarak, $f_i$ ve $g_i$ fonksiyonlarından $h_i(a)=a$ elde edilebiliyorsa, $(A,B)|a$ olması gerekir.
$i=1$ için, $x=2$ alırsak
$$f_1(2) = 6, g_1(2) = 0 \Rightarrow (6,0) = 6 \nmid 2$$
olacağı için $F_1 = 0$ dır.
$i=2$ için, $x=\dfrac 12$ alırsak
$$f_2\left(\frac 12\right) = 0, g_2\left(\frac 12\right) = 1$$
olacağı ve $0$ ile $1$ kullanarak $\dfrac 12$ elde edilemeyeceği için $F_2 = 0$ dır.
$i=3$ için $$g_3^2(x) - f_3(x) - g_3(x) - g_3(x) = x^2+4x+4 - x^2 - x - x - 2 -x -2 =x$$ olduğu için de $F_3 = 1$ dir.