Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 20

[geo]

$p(x)$ tüm kökleri gerçel olan ve her $x$ gerçel sayısı için $p(x^2-1) = p(x)p(-x)$ eşitliğini sağlayan bir polinom ise, $p(x)$ in derecesi en fazla kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ p(x) \text{ in derecesi için üst sınır yoktur. }
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

$x=0$ için $p(-1) = p(0) \cdot p(0)$ ve $x=1$ için $p(0) = p(1) \cdot p(-1)$.

Birleştirirsek $p(-1) = [p(1)]^2[p(-1)]^2 \Longrightarrow p(-1)([p(1)]^2p(-1) - 1) = 0$.

$p(-1) = 0$ olma ihtimali var. Bu durumda, $p(0) = 0$ olacaktır. $p(x) = x(x+1)$ polinomunu deneyelim.
$p(x^2 - 1) = (x^2 - 1)(x^2)$
$p(x) \cdot p(-x) = x(x+1)(-x)(-x + 1) = -x^2(1-x^2) = x^2(x^2-1) = p(x^2 - 1)$ olacaktır. O halde bu polinom sağlar.

$p(x) = x^n(x+1)^n$ nin de sağladığını gösterebiliriz. $-1$ in kuvvetleri ile uğraşmak istemezsek, doğrudan $p(x) = x^{2n}(x+1)^{2n}$ polinomunu deneyebiliriz.

$$p(x^2-1) = (x^2 -1 )^{2n}(x^2)^{2n} = (x-1)^{2n}x^{2n}(x+1)^{2n}x^{2n}  = (-x+1)^{2n}(-x)^{2n}(x+1)^{2n}x^{2n} = p(-x)p(x) $$

[geo]

$\alpha_i \in \mathbf{R}$ olmak üzere, $$p(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\dots(x-\alpha_n)$$ polinomu tüm kökleri gerçel olan $n.$ dereceden bir polinomdur. $$ p(x^2-1)=(x^2-1-\alpha_1)(x^2-1-\alpha_2)\dots (x^2-1-\alpha_n) $$ ve $$ p(x)p(-x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\dots(x-\alpha_n)(-x-\alpha_1)(-x-\alpha_2)\dots(-x-\alpha_n) $$ ifadelerini sorudaki eşitlikte yerine yazarsak $$ (x^2-1-\alpha_1)(x^2-1-\alpha_2)\dots(x^2-1-\alpha_n) = (-1)^n(x^2-\alpha_1^2)(x^2-\alpha_2^2)\dots(x^2-\alpha_n^2) $$ elde ederiz.
$n$ çift olduğunda $$x^2 - 1 - \alpha_i = x^2 - \alpha_i^2$$ eşitliğini sağlayan $\alpha_i$ gerçel sayısı varsa, polinomun derecesi $n$ için bir üst limit olmayacak. Gerçekten de $$\alpha_i^2 - \alpha_i -1 = 0$$ denkleminin iki gerçel kökü vardır. $\alpha$ bunlardan biri ise $$p(x)=(x-\alpha)^{2n}$$ polinomu soruda verilen eşitliği her zaman sağlar. Bu durumda $p(x)$ in derecesi için bir üst sınır yoktur.

[geo]

$a\neq 0$ olmak üzere; $p(x) = ax + b$ şeklinde bir polinom olsun.

$a(x^2 -1 ) + b = (ax + b)(-ax+b)$

$ax^2 + b - a = -a^2x^2 + b^2$

$a = -a^2 \Longrightarrow a = -1$.
$b^2 = b-a = b+1 \Longrightarrow b^2 - b - 1 = 0 \Longrightarrow b_{1,2} = \dfrac {1\pm \sqrt 5} 2$.
Köklerden birini alalım ve ona $\alpha$ diyelim.
$p(x) = -x + \alpha$ polinomu sorudaki şartı sağlar.

O halde, $p(x) = (-x + \alpha)^n$ polinomu da sorudaki şartı sağlar.

[geo]

$a,b,c$ negatif olmayan tam sayılar olmak üzere;
$p(x) = \left (x^2 + x \right )^a \left (-x + \frac {1+ \sqrt 5}{2} \right)^b \left (-x + \frac {1 - \sqrt 5}{2} \right )^c $ polinomu ile $p(x) = 0$ polinomu sorudaki şartları sağlayan polinomlardır.

Başka bir çözümün olup olmadığını belki birisi ispatlayabilir.