Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 15

[geo]

$A$, $B$ ve $C$, aralarında tavla oynarlar. Önce $A$ ile $B$ karşılaşır, kazanan $C$ ile oynar. Bundan sonra, parti devam ettiği sürece, oynanan son oyunu kazanan, o karşılaşmada oynamayan üçüncü kişi ile karşılaşır. Oyunculardan biri art arda iki kez kazanınca, parti sona erer ve ardışık iki oyunu kazanan partinin galibi olur. Her oyunda iki tarafın da kazanma olasılığı eşit ise, $C$ nin partiyi kazanma olasılığı nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac 27
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac 13
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{3}{14}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac 17
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{A}$

$A$ ilk maçı kazanırsa, $A$ nın partiyi kazanma olasılığı
$$P_1(A) = \dfrac 14 + \dfrac{1}{32} + \dots + \dfrac{1}{4\cdot 8^k} + \dots $$ olacaktır.$A$ ilk maçı kaybederse, $A$ nın partiyi kazanma olasılığı
$$P_0(A) = \dfrac 1{16} + \dfrac{1}{128} + \dots + \dfrac{1}{16\cdot 8^k} + \dots $$ olacaktır. $A$ nın turnuvayı kazanma olasılığı $$P(A) = P_1(A) + P_0(A) = \left(\dfrac {1}{4} + \dfrac{1}{16}\right)\left( 1 + \dfrac 18 + \dots + \dfrac 1{8^k} + \dots \right) = \dfrac{5}{16} \cdot \dfrac{1}{1-\dfrac 18} = \dfrac 5{14}$$ tür. Benzer şekilde, $P(B)=P(A)=\dfrac{5}{14}$ olacağı için, $P(C) = 1 - \dfrac{5}{14} - \dfrac{5}{14} = \dfrac{4}{14} = \dfrac 27$ olur.

[geo]

$C$ ilk maçını kayberderse, onu yenen oyuncu ikinci galibiliyetini almış olacağı için parti sona erer. Yani, $C$ nin partiyi kazanması için ilk maçını mutlaka kazanması gerekiyor ($\frac 12$). $C$, bundan sonraki maçını, yani ikinci maçını kazandığında ($\frac 12$) partiyi kazanmış olacak. İkinci maçı kaybettiğinde ($\frac 12$), bir maç bekleyecek ve kendisini yenenin kaybetmesi için dua edecek. Aksi takdirde, kendisini yenen, peşpeşe iki maç kazanmış olacak ki, bu da partiyi sonlandırır. Kendisini yenen ikinci oyununu kaybettiğinde ($\frac 12$), $C$ için her şey başa dönmüş olacak. Bu durumu, $$P(C) = \dfrac 12 \left(\dfrac 12 + \dfrac 12 \cdot \dfrac 12 \cdot P(C) \right) \Rightarrow P(C) = \dfrac 27.$$ şeklinde ifade edebiliriz.