Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 14

[geo]

$9^{8^{7^{\cdot^{\cdot^{\cdot^2}}}}}$ sayısının on tabanına göre yazılımının son iki basamağı nedir?

$
\textbf{a)}\ 81
\qquad\textbf{b)}\ 61
\qquad\textbf{c)}\ 41
\qquad\textbf{d)}\ 21
\qquad\textbf{e)}\ 01
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

$(100,9)=1$ ve $\varphi(100) = 40$ olduğu için $$9^{40} \equiv 1 \pmod{100}$$  olacaktır. Bu durumda $$8^{7^{\cdot^{\cdot^{\cdot^2}}}} \equiv x \pmod{40}$$ denkliğini çözmemiz gerekiyor. $$\begin{array}{rclr}
8^1 &\equiv& 8 & \pmod{40} \\ 
8^2 &\equiv& 24 & \pmod{40} \\
8^3 &\equiv& 32 & \pmod{40} \\
8^4 &\equiv& 16 & \pmod{40} \\
8^5 &\equiv& 8 & \pmod{40} \\
\end{array}$$ ve $$7^{6^{\cdot^{\cdot^{\cdot^2}}}} \equiv (-1)^{6^{\cdot^{\cdot^{\cdot^2}}}} = 1 \pmod{4}$$ olduğu için $$8^{7^{\cdot^{\cdot^{\cdot^2}}}} \equiv 8 \pmod{40}$$ ve $$9^{8^{7^{\cdot^{\cdot^{\cdot^2}}}}} \equiv 9^{40k+8} \equiv 9^8 \equiv 81^4 \equiv 19^4 \equiv 61^2 \equiv 21 \pmod {100}$$ olur.