Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 13

[geo]

Birbirine dıştan teğet olan $k_1$ ve $k_2$ çemberlerinin ortak dış teğet doğrularından biri $d$  olsun. $d$ nin $k_1$ çemberine değdiği nokta $A$, $k_1$ çemberinin $A$ dan geçen çapı $[AB]$, $B$ noktasından $k_2$ çemberine çizilen teğetin değme noktası $C$ ile gösterilmek üzere, $|AB|=8$ ve $k_2$ çemberinin çapı $7$ ise, $|BC|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 7
\qquad\textbf{b)}\ 6\sqrt 2
\qquad\textbf{c)}\ 10
\qquad\textbf{d)}\ 8
\qquad\textbf{e)}\ 5\sqrt 3
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

$k_1$ ve $k_2$ çemberlerinin merkezleri sırasıyla $O_1$ ve $O_2$ olsun. $d$ doğrusu, $k_2$ çemberine $M$ noktasında dokunsun. Çemberler teğet olduğu için $$O_1O_2 = 4+\dfrac 72 = \dfrac {15}2$$ dir. $O_1AMO_2$ bir dik yamuktur. $O_2$ den $O_1A$ ya inilen dikmenin ayağı $P$ olsun. $$O_1P = 4 - \dfrac 72 = \dfrac 12$$ olur. Pisagor teoreminden, $$\begin{array}{rcl}BO^2 &=& BP^2 + O_2P_2 = BC^2 + O_2C^2 \Rightarrow \\
BC^2 &=& BP^2 + O_2P^2 - OC^2  \Rightarrow \\
BC^2 &=& \left (4+\dfrac 12 \right)^2 + \left( \left (\dfrac {15}2 \right )^2 -  \left (\dfrac 12 \right )^2 \right) -  \left (\dfrac 72 \right )^2 = 64 \Rightarrow \\
BC &=& 8.
\end{array}$$

NOT:
$AB=a$ ve $O_2C=b$ olsaydı,
$$ BC^2 = \left (\dfrac a2+(\dfrac a2-b) \right )^2+ \left ((\dfrac a2+b)^2-(\dfrac a2-b)^2 \right)-(b)^2 = a^2\Rightarrow BC=a $$ olacaktı. Demek ki, $BC$ uzunluğu, $k_2$ nin çapından bağımsız olarak, her zaman $AB$ ye eşit.

[geo]

İki çember $N$ noktasında birbirlerine dokunsun. $O_1$, $N$, $O_2$ nin doğrusal olduğunu söylemek çok da zor değil. Şimdi de $BN$ ve $NM$ doğru parçalarını çizelim. $O_2M \parallel O_1A$ olduğu için $\angle BO_1N = \angle NO_2M$ dir. $\triangle BO_1N$ ve $\triangle NO_2M$ nin ikisi de ikizkenardır. Bu durumda $\angle O_2NB = \angle O_1NM$ olacak, bu da $B,N,M$ noktalarının doğrusal olmasını gerektirecek. $AB$ çap olduğu için, $AN\perp BM$ olacak. Öklit'ten $AB^2 = BN\cdot BM$ ve $BC$ nin $k_2$ teğet olmasından $BC^2 = BC \cdot BM$ olacağı için, $BC=AB$ dir.

NOT:
Bu çözüm ile aslında 2000/29 sorusunun da çözümü yapılmış oldu.