Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 11

[geo]

$7$ kırmızı, $7$ beyaz topu, her kutuda tam olarak $2$ top olması koşuluyla, $7$ kutuya kaç değişik biçimde dağıtabiliriz?

$
\textbf{a)}\ 163
\qquad\textbf{b)}\ 393
\qquad\textbf{c)}\ 858
\qquad\textbf{d)}\ 1716
\qquad\textbf{e)}\ \text {Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

Önce kırmızı topları dağıtalım. Tüm kırmızı toplar dağıtıldıktan sonra, toplamda $14$ top olacağı için geri kalan $7$ top, $7$ boşluğa tek bir şekilde dağıtılır. Yani soru, "$7$ topu $7$ kutuya, her kutuda en fazla $2$ top olacak şekilde kaç değişik biçimde dağıtırız?" oldu.
Kırmızı toplar kutulara ($(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7)$ ile her kutunun içindeki kırmızı top sayısını gösteriyoruz),
Hiçbir kutuda $2$ kırmızı top olmayacak şekilde ($(1,1,1,1,1,1,1)$)  $\dfrac{7!}{7!}=1$ değişik biçimde,

tam olarak $1$ kutuda $2$ kırmızı top olacak şekilde ($(2,1,1,1,1,1,0)$)  $\dfrac{7!}{5!1!1!} = 42$ değişik biçimde,

tam olarak $2$ kutuda $2$ kırmızı top olacak şekilde ($(2,2,1,1,1,0,0)$)  $\dfrac{7!}{3!2!2!} = 210$ değişik biçimde,

tam olarak $3$ kutuda $2$ kırmızı top olacak şekilde ($(2,2,2,1,0,0,0)$)  $\dfrac{7!}{3!3!} = 140$ değişik biçimde dağıtılır.

Yani toplamda, $1+42+210+140=393$ farklı şekilde dağıtılır.