Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 29

[geo]

Yüksekliği $3$ olan $ABC$ eşkenar üçgeninin $[BC]$ kenarına orta noktasında teğet olan ve diğer kenarları da kesen $2$ yarıçaplı çember çiziliyor. $AB$ ve $AC$ nin çemberi üçgenin dışında kestiği noktalar $D$ ve $E$ olmak üzere, $Alan(ABC)$ nin $Alan(ADE)$ ye oranı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 2(5+\sqrt 3)
\qquad\textbf{b)}\ 7\sqrt 2
\qquad\textbf{c)}\ 5\sqrt 3
\qquad\textbf{d)}\ 2(3+\sqrt 5)
\qquad\textbf{e)}\ 2(\sqrt 3 + \sqrt 5)
$

[geo]

Çemberin merkezi $O$ ve $[AB]$ ile çember $F$ de kesişsin.$\triangle AFO$ da, ister Cosinüs Teoreminden ister $AF$ ye ait yüksekliği çizerek $AF$ yi bulabiliriz. Yükseklik yaklaşımını kullanalım.
$\triangle AOF$ de $OH$, $AF$ ye ait yükseklik olsun. $\angle FAO = 30^\circ$, $AO=1$ ve $OF=2$ olduğu için $$OH=\dfrac 12, AH = \dfrac {\sqrt 3} 2$$ olarak elde edilir. $\triangle OHF$ dik üçgeninde Pisagordan $$HF^2 = OF^2 - OH^2 \Rightarrow HF^2 = 4 - \dfrac 14 = \dfrac{15}4 \Rightarrow HF = \dfrac{\sqrt {15}}2 $$ olarak elde edilir. Bu durumda $$AF=AH+HF=\dfrac{\sqrt {15}}2 + \dfrac{\sqrt 3} 2$$ olur. $A$ noktasının çembere göre kuvvetinden $$AE\cdot AF = 1 \cdot 3 \Rightarrow AE = \dfrac {6}{\sqrt 3 + \sqrt {15}} $$ elde edilir. Benzer şekilde $AD=AE$ elde edilir. $\triangle ADE \sim \triangle ACB$ olduğu için $$\dfrac{[ABC]}{[ADE]} = \dfrac{AB^2}{AE^2}$$ olacaktır.
$AB=2\sqrt 3$ ve $AE = \dfrac {6}{\sqrt 3 + \sqrt {15}}$ olduğu için
$$\dfrac{[ABC]}{[ADE]} = \dfrac{AB^2}{AE^2} = \dfrac {(2\sqrt 3)^2}{  \left ( \dfrac {6}{\sqrt 3 + \sqrt {15}} \right )^2} = \dfrac{12(\sqrt 3 + \sqrt {15})^2}{36} = 6+2\sqrt 5 = 2(3+\sqrt 5)$$