Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 24  (Okunma sayısı 3362 defa)

Çevrimiçi geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2.633
  • Karma: +9/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 24
« : Nisan 26, 2014, 04:48:09 ös »
$f(x)$ polinomu her $x$ gerçel sayısı için $(x-1)f(x+1) - (x+2)f(x)=0$ koşulunu sağlıyor. $f(2)=6$ ise, $f(\frac 32)$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ -6
\qquad\textbf{b)}\ 0
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac 32
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac {15}8
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Çevrimiçi geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2.633
  • Karma: +9/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 24
« Yanıtla #1 : Nisan 26, 2014, 08:01:42 ös »
$$
f(x) = \dfrac { (x-1)f(x+1) } {x+2}
$$
olduğu için $f(1) = 0$ ve polinomun bir kökü $(x-1)$ olur.
$x$ yerine $x-1$ dersek,
$$
(x-2)f(x) - (x+1)f(x-1) = 0 \\
f(x) = \dfrac {(x+1)f(x-1)}{x-2}
$$
olduğu için $f(-1) = 0$ ve polinomun diğer kökü $(x+1)$ olur.
$ f(x) = g(x)(x-1)(x+1)$ olsun. Soruda verilen denklemi yeniden yazarsak
$$\begin{array}{rcl}
(x-1)g(x+1)x(x+2) - (x+2)g(x)(x-1)(x+1) &=& 0 \\
(x-1)(x+2)(g(x+1)x - g(x)(x+1)) &=& 0 \end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}\dfrac {g(x+1)}{g(x)} &=& \dfrac {x+1}{x} \\
g(x) &=& \dfrac {xg(x+1)}{x+1} \\
\end{array}$$
elde ederiz. Bu durumda $g(0)=0$ ve $g(x) = xh(x)$ tir. Bu son bulduğumuzu
$$\dfrac {g(x+1)}{g(x)} = \dfrac {x+1}{x}$$ eşitliğinde yerine yazarsak
$$ \dfrac {(x+1)h(x+1)}{xh(x)} = \dfrac {x+1}{x} \Rightarrow \dfrac {h(x+1)}{h(x)} = 1$$ elde ederiz. Buradan da $h(x)=A$ sabit bir fonksiyon olarak elde edilir. Son olarak $$f(x)=x(x-1)(x+1)A$$ elde edilir. $f(2)=6$ değerini yerine yazarsak $$f(2)=2(2-1)(2+1)A = 6 \Rightarrow A=1$$ elde ederiz. Son durumda $f(x)=x(x-1)(x+1)$ ve $f(\frac 32) = \dfrac 32 \left(\dfrac 32 - 1\right)\left(\dfrac 32 + 1\right) = \dfrac 32 \cdot \dfrac 12 \cdot \dfrac 52 = \dfrac {15}8$ elde edilir.
« Son Düzenleme: Kasım 27, 2021, 12:25:57 ös Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal