$$
f(x) = \dfrac { (x-1)f(x+1) } {x+2}
$$
olduğu için $f(1) = 0$ ve polinomun bir kökü $(x-1)$ olur.
$x$ yerine $x-1$ dersek,
$$
(x-2)f(x) - (x+1)f(x-1) = 0 \\
f(x) = \dfrac {(x+1)f(x-1)}{x-2}
$$
olduğu için $f(-1) = 0$ ve polinomun diğer kökü $(x+1)$ olur.
$ f(x) = g(x)(x-1)(x+1)$ olsun. Soruda verilen denklemi yeniden yazarsak
$$\begin{array}{rcl}
(x-1)g(x+1)x(x+2) - (x+2)g(x)(x-1)(x+1) &=& 0 \\
(x-1)(x+2)(g(x+1)x - g(x)(x+1)) &=& 0 \end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}\dfrac {g(x+1)}{g(x)} &=& \dfrac {x+1}{x} \\
g(x) &=& \dfrac {xg(x+1)}{x+1} \\
\end{array}$$
elde ederiz. Bu durumda $g(0)=0$ ve $g(x) = xh(x)$ tir. Bu son bulduğumuzu
$$\dfrac {g(x+1)}{g(x)} = \dfrac {x+1}{x}$$ eşitliğinde yerine yazarsak
$$ \dfrac {(x+1)h(x+1)}{xh(x)} = \dfrac {x+1}{x} \Rightarrow \dfrac {h(x+1)}{h(x)} = 1$$ elde ederiz. Buradan da $h(x)=A$ sabit bir fonksiyon olarak elde edilir. Son olarak $$f(x)=x(x-1)(x+1)A$$ elde edilir. $f(2)=6$ değerini yerine yazarsak $$f(2)=2(2-1)(2+1)A = 6 \Rightarrow A=1$$ elde ederiz. Son durumda $f(x)=x(x-1)(x+1)$ ve $f(\frac 32) = \dfrac 32 \left(\dfrac 32 - 1\right)\left(\dfrac 32 + 1\right) = \dfrac 32 \cdot \dfrac 12 \cdot \dfrac 52 = \dfrac {15}8$ elde edilir.
