Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 21

[geo]

$ABC$ üçgeninde $m(\widehat{BAC}) = 10^\circ$ ve $m(\widehat{ABC}) = 150^\circ$ dir. $[AC]$ üstünde $|AX|=|BC|$ olacak şekilde $X$ noktası alınıyor. $m(\widehat{BXC})$ kaç derecedir?

$
\textbf{a)}\ 15
\qquad\textbf{b)}\ 20
\qquad\textbf{c)}\ 25
\qquad\textbf{d)}\ 30
\qquad\textbf{e)}\ 35
$

[geo]

$ \angle YBA =\angle BAY = 10^\circ $ olacak şekilde $[AC]$ üzerinde $Y$ noktasını alalım. $BY = YA$ olacaktır. $ \angle BYC =\angle BCY = 20^\circ $ olduğu için $BY=BC$, dolayısıyla da $AX=AY$ olacaktır. Bu durumda $X$ ile $Y$ noktası çakışıktır. Yani $\angle BXC = 20^\circ$.

[geo]

$[AC$ üzerinde $BA=BD$ olacak şekilde bir $D$ noktası alalım.
$$ \angle BDA = 10^\circ\Rightarrow\angle DBC = 10^\circ $$ olduğu için $CD=CB$ olacaktır. Bu durumda
$$DB=BA, DC=AX, \angle BDC =\angle BAX = 10^\circ $$
olduğu için $\triangle BDC \cong \triangle BAX$ olacaktır. Bu da $$ BX=BC\Rightarrow\angle BXC = 20^\circ $$ olmasını gerektirir.

[geo]

$BX=\sin 10^\circ$ olsun. Bu durumda $AB=\sin X$ ve $ AX =\sin(X-10^\circ) = BC $ olacaktır. $\triangle BXC$ üçgeninde Sinüs Teoreminden $$ \dfrac{\sin(X-10^\circ)}{\sin X}=\dfrac{\sin10^\circ}{\sin20^\circ} $$ elde edilir. Açık bir şekilde $X=20^\circ$ denklemi sağlar.

[geo]

$\angle BCA$ nın açıortayı $AB$ yi $Y$ de kessin.
$$ \angle YCA =\angle YAC = 10^\circ\Rightarrow CY = YA $$
$$ \angle BCY =\angle YAX = 10^\circ \land CY=YA \land AX =BC \Rightarrow \triangle AXY \cong \triangle CBY \Rightarrow BY = YX$$
$ \angle XYB =\angle BCX = 20^\circ $ olduğu için de $BYXC$ kirişler dörtgenidir. Bu durumda $$ \angle BYC =\angle BXC = 20^\circ $$ olur.

[geo]

$\angle ABY = 30^\circ $ olacak şekilde $[AC]$ üzerinde $Y$ noktasını alalım.
$Z$, $[CB$ üzerinde $[BC]$ nin dışında $BZ=BY$ olacak şekilde bir nokta olsun.
$\triangle BZY$ eşkenar üçgendir. $AB \perp ZY$ olduğu için de $BZAY$ bir deltoiddir. Bu durunda $AZ = AY$ ve $ \angle ZAB =\angle BAY = 10^\circ $ olduğu için $$ \angle ZAC = 20^\circ =\angle ZCA\Rightarrow AZ = CZ $$ elde edilir.
$$ AX+XY = AY = CZ = BC+BZ\Rightarrow YX = BZ = BY $$ bilgisi eşliğinde $$ \angle BYC = 40^\circ\Rightarrow\angle BXY = 20^\circ $$ elde edilir.

[geo]

$C$ nin $AB$ ye göre simetriği $D$ olsun. $\triangle ACD$ bir $ 80^\circ-20^\circ-80^\circ $ üçgenidir. Bu durumda $\triangle BCD$ eşkenar; $AXBD$ dörtgeni de ikizkenar yamuk, yani kirişler dörtgenidir. Buna göre $AB$ açıortay olduğu için $DX$ de $\angle ADB$ nin açıortayıdır. Ayrıca $BD=BX=AX$ olduğu için de $\triangle AXB$ ikizkenar üçgen olur. Bu durumda $m(\widehat{BXC}) = 20^\circ$ elde edilir.

[geo]

Daha genelini çözeceğiz:
$\angle BAC = x$ ve $\angle BCA = 2x$ olsun.

$\triangle ABC$ nin çevrel çemberinin merkezi $O$ olsun. $OB$ ile $AC$, $Y$ de kesişsin.

$\angle BOA = 2\angle BCA = 4x$, $\angle COB = 2 \angle BAC = 2x$, $\angle CBO = 90^\circ-x$, $\angle BYC = 90^\circ - x$. $CY = BC = AX$.
$OC=OA$ ve $CY=AX$ olduğu için $OY=OX$ ve $\angle XOA = \angle YOC = \angle YOX = 2x$ elde edilir.
Bu aşamadan sonra iki şekilde ilerleyebiliriz:

• $\angle BOX = \angle BCX$ olduğu için $BXOC$ bir kirişler dörtgeni ve $\angle BCX = \angle BOX = 2x$
• $\triangle BOA$ ikizkenar ve $OX$ tepe açısına ait açıortay olduğu için $BX=XA$ ve $\angle ABX = x$ ve $\angle BCX =2x$

[geo]

Bu soru, Üçgende Kesenin Kenarlarla Yaptığı Açı Üzerine konusunda bahsedilen $(k_2 = 1, b=x, c=x/2)$ ya da diğer bir deyişle $(k_2 = 1,  N=1.1)$ ailesine ($x=20^\circ$) aittir. Bundan önceki tüm yanıtlar aslında genel durum için de çalışıyor.