Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 16

[geo]

$y = \sqrt {x^2 + \dfrac {1}{1999}}$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,y)$ rasyonel sayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz sayıda}
$

[geo]

Her iki tarafın karesini alalım. $$y^2 = x^2 + \dfrac 1{1999} \Rightarrow (y-x)(y+x) = \dfrac 1{1999}$$ olacaktır. $y-x=r$ ise $y+x=\dfrac1{1999r}$ olur. Bu durumda $y=\dfrac{r + \dfrac 1{1999r}}{2}$ ve $x=\dfrac{\dfrac 1{1999r} - r}{2}$ elde edilir. Her $r$ rasyonel sayısı için $x, y$ sayıları rasyonel olacağı için sonsuz farklı çözüm vardır.