Tübitak Lise 1. Aşama 2009 Soru 03

[ERhan ERdoğan]

$x=\sqrt[3]{11+\sqrt{337}}+\sqrt[3]{11-\sqrt{337}}$ olduğuna göre $x^3+18x$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 24
\qquad\textbf{b)}\ 22
\qquad\textbf{c)}\ 20
\qquad\textbf{d)}\ 11
\qquad\textbf{e)}\ 10
$

[ERhan ERdoğan]

Yanıt: $\boxed{B}$

$a+b+c=0 \Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc$ özdeşliğini kullanalım. $\sqrt[3]{11+\sqrt{337}}+\sqrt[3]{11-\sqrt{337}}+(-x)=0 \\$ olduğundan, $(11+\sqrt{337})+(11-\sqrt{337})+(-x^3) = 3(-x).(\sqrt[3]{11+\sqrt{337}}).(\sqrt[3]{11-\sqrt{337}}) =3.(-x).(-6)= 18x $. Buna göre $x^3+18x=22$ dir.

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{B}$

$a=\sqrt[3]{11+\sqrt{337}}$, $b=\sqrt[3]{11-\sqrt{337}}$ ve $x=a+b$ olsun.
\[
x^{3}=(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)
=(11+\sqrt{337})+(11-\sqrt{337})+3ab\,x
=22+3ab\,x.
\]
Ayrıca $ab=\sqrt[3]{(11+\sqrt{337})(11-\sqrt{337})}
=\sqrt[3]{121-337}
=\sqrt[3]{-216}=-6$. Dolayısıyla $x^{3}=22+3(-6)x=22-18x \Longrightarrow x^{3}+18x=22$ bulunur.