Çözüm 1'in aksine burada matematiksel bir çözüm yapalım. Açıkçası söz konusu problem bir Kombinatorik konusu olan Sperner Teoremi'ni doğrudan soruyor. Biraz da bu teoremin ispatını bilerek bir çözüm yapacağız. Böyle bir çözümün bir test süresinde düşünülüp yapılmasını çok mümkün görmüyoruz. Yine de;
$S$ ile birbirinin altkümesi olmayan kümeleri içeren bir kümeyi gösterelim.
En basit mantığıyla, $S = \{ \{1\}, \{2\}, \{3\}, \dots \{10\} \}$ bu şekilde bir küme olacak. $S_i$ ile $S$ kümesinin $i$ elemanlı kümelerden oluşan elemanları içeren kümeyi gösterelim. Buna göre yukarıda verdiğimiz basit örnek için $|S_5|=0$ iken $|S_1|=10$ dur.
$S = \{x: |x|=5 \land x \subset \{1,2, \dots , 10\} \}$ şeklinde bir $S$ kümesi alalım. $|S|=\binom{10}{5} = 252$ ve $S$'deki elemanlardan hiçbiri bir diğerinin altkümesi değil. Bu durumda örneğin $|S_0| = |S_3| = |S_9| = 0$ iken $|S_5|=252$ dir.
Bu tanımlamaları yaptıktan sonra, asıl sorunun çözümüne gelelim.
$S$ içerisinden $k$ elemanlı bir eleman alıp (unutmayalım, $S$ nin elemanları birer kümeydi!), Bu elemanları $k!$ şekilde sıralayalım. Sonra da $\{1,2,\dots, 10\}$ kümesinin kullanmadığımız $10-k$ elamanını $(10-k)!$ şekilde sıralayalım. $k$ elemanlı elemanların kümesi $S_k$ olacağından toplamda $|S_k|\cdot k! \cdot (10-k)!$ şekilde $(1,2,\dots 10)$ sayılarının bir permütasyonunu elde etmiş olduk.
Son yaptığımızı her $0\leq k \leq 10$ sayısı için yaparsak toplamda $$\displaystyle\sum_{k=0}^{10} |S_k|\cdot k! \cdot (10-k)!$$
permütasyon elde ederiz. Toplamda elde ettiğimiz bu permüstasyonlar arasında aynı permütasyonlar var mı? Yoksa bu permütasyon sayısı $$\displaystyle\sum_{k=0}^{10} |S_k|\cdot k! \cdot (10-k)! \leq 10!$$ olmalı; çünkü $10$ elemanlı bir kümenin $10!$ permütasyonu vardır. Toplamda elde ettiğimiz permütasyonlar arasında aynı olanlar varsa, o zaman dükkanı kapatma vakti gelmiş. Çünkü yapacak bir şeyimiz kalmadı demektir. Dua edelim, böyle bir şey olmasın.
$S$ nin herhangi iki elemanını ele alalım. Bunlardan biri $x$ elemanlı $X$, diğeri $y$ elemanlı $Y$ olsun; genellemeyi bozmadan $x \leq y$ kabul edelim. $X$ i kullanarak yukarıda anlatıldığı gibi $10$ elemanlı bir permütasyon üretelim. Sonra da $Y$ yi kullaranak bir permütasyon üretelim. Bu iki permütasyonun ilk $x$ basamağına bakalım. $X \not\subset Y $ olduğu için, bu basamaklar aynı olamaz. Bu durumda üretilen tüm permütasyonlar farklı, bunların toplam sayısı da $10!$ den küçük ya da $10!$ e eşittir. Biraz düzenleme yaparsak:
$$\displaystyle\sum_{k=0}^{10} |S_k|\cdot k! \cdot (10-k)! \leq 10! \Rightarrow \displaystyle\sum_{k=0}^{10} {\dfrac{|S_k|}{\dfrac{10!}{k! \cdot (10-k)!}}} \leq 1 \Rightarrow \displaystyle\sum_{k=0}^{10} \dfrac{|S_k|}{{10 \choose k}} \leq 1 $$ elde ederiz. Şimdi de $${10 \choose k} \leq {10 \choose 5} \Rightarrow \dfrac{|S_k|}{{10 \choose 5}} \leq \dfrac{|S_k|}{{10 \choose k}}$$ özdeşliğini kullanarak
$$\displaystyle\sum_{k=0}^{10} \dfrac{|S_k|}{{10 \choose 5}} \leq \displaystyle\sum_{k=0}^{10} \dfrac{|S_k|}{{10 \choose k}} \leq 1 $$ ve $$\dfrac 1{{10 \choose 5}} \cdot \displaystyle\sum_{k=0}^{10} |S_k| \leq 1 \Rightarrow \displaystyle\sum_{k=0}^{10} |S_k| = |S| \leq {10 \choose 5}$$ elde ederiz. Son eşitsizlik bize hiçbiri bir diğerinin altkümesi olmayan kümelerin toplam sayısının en fazla ${10 \choose 5}$ olacağını söylüyor. Anlaşılır kılmak için, biraz uzattık; yoksa internetteki kaynaklarda sadece yukarıdaki cebirsel ifadeler verilerek ispat yapılıyor.
