Tübitak Lise 1. Aşama 1998 Soru 32

[geo]

$f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu her $x, y \in \mathbb{R}^+$ için $f(x)+f(y)=f(x)f(y)+1-\dfrac{1}{xy}$ koşulunu sağlıyor ve $f(2)<1$ ise, $f(3)$ değeri nedir?

$
\begin{array}{ll}
\textbf{a)} \ & 2/3 \\
\textbf{b)}\ & 4/3 \\
\textbf{c)}\ & 1 \\
\textbf{d)}\ & \text{Verilenlerden tek bir } f(3)  \text{ değeri belirlenemez.} \\
\textbf{e)}\ & \text{Verilen koşulları sağlayan bir } f  \text{ fonksiyonu yoktur.}
\end{array}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{A}$

$$\begin{array}{rcl}
x=y=1 &\Rightarrow& f(1) + f(1) = f(1)^2 + 1 - \dfrac 1{1\cdot 1} \\ &\Rightarrow& 2f(1) - f(1)^2 = 0 \\ &\Rightarrow& f(1)(2 - f(1)) = 0 \end{array}$$
olduğu için $f(1) = 0$ ya da $f(1) = 2$ elde edilir.
$$\begin{array}{rcl}
x=2, y=1 &\Rightarrow& f(2) + f(1) = f(2)f(1) + 1 - \dfrac 1{2\cdot 1} \\
&\Rightarrow& f(2) - f(2)f(1) = \dfrac 12 - f(1) \\
&\Rightarrow& f(2)(1 - f(1)) = \dfrac 12 - f(1) \\ &\Rightarrow& f(2) = \dfrac{\dfrac 12 - f(1)}{1 - f(1)} \end{array}$$
olduğu için $f(1) = 0$ ise $f(2) = \dfrac 12$ ya da $f(1) = 2$ ise $f(2) = \dfrac 32$ elde edilir. Soruda $f(2) < 1$ olarak verildiği için $f(1) = 0$ dır.

$$\begin{array}{rcl}
y=1 &\Rightarrow& f(x) + f(1) = f(x)f(1) + 1 - \dfrac 1{x\cdot 1} \\
&\Rightarrow& f(x) = 1 - \dfrac 1x \\
&\Rightarrow& f(3) = \dfrac 23 \end{array}$$
elde edilir.
Çözümün sıhhati açısından $f(x) = 1 - \dfrac 1x $ fonksiyonunun soruda verilenleri sağladığından emin olalım:
$$\begin{array}{rcl}
f(x) = 1 - \dfrac 1x &\Rightarrow& f(2) = \dfrac 12 \\
f(x) + f(y) - f(x)f(y) &=& (1 - \dfrac 1x) +  (1 - \dfrac 1y) - (1 - \dfrac 1x)(1 - \dfrac 1y) \\
&=& 2 - 1 - \dfrac 1x - 1 - \dfrac 1y - \dfrac 1{xy} + \dfrac 1x + \dfrac 1x \\
&=& 1 - \dfrac 1{xy}
\end{array}$$