Tübitak Lise 1. Aşama 2009 Soru 08

[ERhan ERdoğan]

$\left \{ 1,2,\dots ,n \right \}$ kümesi iki alt kümeye nasıl ayrılırsa ayrılsın, alt kümelerden en az birindeki iki farklı elemanın toplamı bir tam kare oluyorsa, $n$ en az kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 13
\qquad\textbf{b)}\ 14
\qquad\textbf{c)}\ 15
\qquad\textbf{d)}\ 16
\qquad\textbf{e)}\ 17
$

[ERhan ERdoğan]

Yanıt: $\boxed{C}$

$A$ ve $B$ gibi iki küme alalım.

Bu kümelere elemanları şu kuralla yerleştireceğiz. Bir kümeye yerleştirdiğimiz elemanı toplamda tam kare yapan en küçük elemanı diğer kümeye alacağız.

$1$' i $A$ kümesine alırsak $3$'ü $B$ kümesine almalıyız. $3$ elemanı  $B$ de ise $6$ da $A$ kümesinde olmalıdır. Benzer şekilde $10$ , $B$ de ve $15$ de $A$ da olur ki $A$ kümesindeki $1$ elemanı ile birlikte tam kare oluştururlar.

O halde en az $n=15$ de istenen sağlanmaktadır.

$n=14$ için örnek durum, $A=\left \{1,2,4,6,9,11,13 \right \} , B=\left \{3,5,7,8,10,12,14 \right \}$ şeklindedir.