Tübitak Lise 1. Aşama 1998 Soru 16

[geo]

$x,y,z$ sayıları
$$
\begin{array}{rcl}
x^2+y^2+z &=& 15 \\
x+y+z^2 &=& 27 \\
xy+yz+zx &=& 7
\end{array}
$$
denklemlerini sağlıyorsa, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$
\textbf{a)}\ 3 \leq |x+y+z| \leq 4 \\
\textbf{b)}\ 5 \leq |x+y+z| \leq 6 \\
\textbf{c)}\ 7 \leq |x+y+z| \leq 8 \\
\textbf{d)}\ 9 \leq |x+y+z| \leq 10 \\
\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{C}$

Üçüncü denklemi $2$ ile genişletip denklemleri taraf tarafa toplarsak;
$$\begin{array}{rcl}
x^2 + y^2 + z + x + y + z^2 + 2xy +2yz +2zx &=& 15  + 27 + 2\cdot 7 \\
(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz)+(x+y+z) &=& 56 \\
(x+y+z)^2+(x+y+z) &=& 56
\end{array}$$ elde edilir. $x+y+z = S$ dersek, $S^2 + S - 56 = 0$ eşitliğinin çözüm kümesi $\{7,-8\}$ olur. Bu durumda $|S|=|x+y+z|=7$ veya $|S| = 8 $ olacağı için $7 \leq |x+y+z| \leq 8$ eşitsizliği doğru olacaktır.