Tübitak Lise 1. Aşama 1998 Soru 12

[geo]

Bir dik üçgende hipotenüsün uzunluğunun çevreye oranının alabileceği tüm değerler gerçel sayılar ekseninde bir aralık oluşturur. Bu aralığın orta noktası nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac {2\sqrt2 + 1}4
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt 2 + 1}{2}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{2\sqrt2 -1}4
\qquad\textbf{d)}\ \sqrt 2 - 1
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{\sqrt 2 - 1}{2}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{C}$

Hipotenüs $c$ ve diğer kenarlar $a,b$ olsun. Pisagordan $$c^2=a^2+b^2 \geq 2ab \Rightarrow 2c^2 \geq c^2+2ab = (a+b)^2 \Rightarrow c\sqrt 2 \geq a+b$$ ve üçgen eşitsizliğinden $$a+b > c$$ elde edilir. Eşitsizliklerin her iki tarafına $c$ eklersek $$c + c\sqrt 2 \geq a+b+c \Rightarrow \dfrac{c}{a+b+c} \geq \dfrac{1}{1+\sqrt 2}$$ ve $$a+b+c > 2c \Rightarrow \dfrac 12 > \dfrac{c}{a+b+c}$$ elde edilir. $(\frac 1{1+\sqrt 2} , \frac 12]$ aralığının orta noktası $$\dfrac{\dfrac{1}{1+\sqrt 2} + \dfrac{1}{2}}{2} = \dfrac{\dfrac{3+\sqrt 2}{2+2\sqrt 2}}{2} = \dfrac{2\sqrt2 -1}4 $$
olur. Dikkat edilirse alt sınır üçgen ikiz kenar dik üçgen iken, üst sınır da üçgen dejenere iken yani açılarından biri $0^\circ$ iken elde ediliyor.

[geo]

Hipotenüsü $1$ olan ve dik olmayan bir açısı $\alpha$ olan dik üçgenin çevresi $\sin \alpha + \cos \alpha +1$ olacaktır.
$x = \sin \alpha + \cos \alpha \Longrightarrow x^2= \sin^2\alpha +\cos^2\alpha +2\sin\alpha\cos\alpha=1+\sin 2\alpha$
O halde $1<x^2\leq 2 \Longrightarrow 1<x\leq \sqrt 2 \Longrightarrow 2<x+1\leq \sqrt 2 + 1$.
$\dfrac{1}{\sqrt 2 + 1} \leq \dfrac 1{x+1}<\dfrac 12$.

$\dfrac{1}{\sqrt 2 + 1}=\sqrt 2 -1$ ile $\dfrac 12$ sayılarının aritmetik ortalaması $\dfrac{\sqrt 2-1 + \dfrac 12}{2}=\dfrac{2\sqrt 2 - 1}{4}$

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt: $\boxed{C}$

Üçgen eşitsizliğinden dolayı maksimum değer $1/2$  dir. Minimum değeri gösterelim. $c=\sqrt{a^2+b^2}$  için hipotenüsün çevreye oranı
$$\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2+b^2}+a+b}\geq \dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}$$
şeklinde elde edilir ve eşitlik dik üçgenin ikizkenar olması durumunda sağlanır. Cevap ise bu iki değerin ortalaması olan $(2\sqrt{2}-1)/4$  tür.