Tübitak Lise 1. Aşama 2009 Soru 19

[ERhan ERdoğan]

$a$ bir gerçel sayı; $x_{1}$ ve $x_{2}, x^2+ax+2=x$ denkleminin farklı iki kökü; $x_{3}$ ve $x_{4}$ de, $(x-a)^2+a(x-a)+2=x$ denkleminin farklı iki kökü olmak üzere, $x_{3}-x_{1}=3(x_{4}-x_{2})$ ise $x_{4}-x_{2}$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{a}{2}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{a}{3}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{2a}{3}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{3a}{2}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[ERhan ERdoğan]

Yanıt: $\boxed{A}$

Denklemleri düzenleyelim \[x^2+(a-1)x+2=0 \] \[x^2-(a+1)x-a^2-2=0 \] Bu denklemlerdeki kökler toplamından $x_{1}+x_{2}=1-a$ ve $x_{3}+x_{4}=1+a$ olur ve buradan $x_{3}-x_{1}+x_{4}-x_{2}=2a$ bulunur. Problemde verilen bilgiyi de kullanarak $4(x_{4}-x_{2})=2a \Rightarrow x_{4}-x_{2}= \dfrac{a}{2}$ elde edilir.