üçen açı(crux) {çözüldü}

[gahiax]

Problem[Crux]:
ABC bir üçgen m(BAC)=60⁰ 'dir. AP ve  BQ sırasıyla m(BAC) ve m(ABC) açılarının açıortaylarıdır.
AB+BP=AQ+QB ise ABC üçgeninin açılarının bulunuz

[Lokman Gökçe]

AQ + QB = AP + PB ise AC = BC olmak zorundadır.bunu ispat edersek problem bitecektir. m(BAC) = 60 şartı altında tüm açıların 60^o olacağı da aşikardır.

AQ + QB = AP + PB ve AC < BC olsun. kenar uzunlukları a,b,c olmak üzere iç açıortay teoreminden AQ = bc/(a + c), BP = ac/(b + c) dir. Steiner-Lehmus teoremi gereğince kısa kenarın karşısında uzun iç açıortay olduğundan b < a iken BQ < AP olur. üstelik AQ < BP olduğunu kolay bir inceleme ile görebiliriz. Gerçekten, a > b     > a + c > b +c     > 1/(a + c) < 1/(b + c)     > b/(a + c) < a/(b + c)     > bc/(a + c) < ac/(b + c)     > AQ < BP dir. böylece AQ + QB < AP +PB olup problemin hipotezi ile çelişiriz.

AC > BC varsayımı ile başlasak bu defa da AQ + QB > AP +PB çelişkisi ile karşılaşılır. Sonuç olarak AC = BC dir.
Bir açısı 60 olan ikizkenar üçgen, eşkenar olacağından; ABC nin tüm açıları 60^o dir. (L.GÖKÇE)

[gahiax]

lokman hocam eşitliği yanlış almışsınız .AB yerine AP almışsınız .eşkenar üçgen için sağlanmıyor.sorunun orjinali ekte

[Lokman Gökçe]

evet yanlış almışım eşitliği. AP + PB = AQ +QB olması halinde de güzel bir soru olmuş. tam bir çözüm çıkınca verilere hiç dikkat etmemiştim. AB +PB = AQ + QB durumunda da m(B) = 80^o ve m(C) = 40^o oluyor.bunu ispat edelim.kolay gelsin...

[Lokman Gökçe]

...

[gahiax]

farklı çözüm