Apolonyus + Kenarortaysı

[geo]

$(AB)$ üzerinde $AX=XY=YB$ olacak şekilde $X$ ve $Y$ noktaları alalım. $XY$ nin orta noktası $M$ olsun. $BM$ çaplı çember üzerinde keyfi bir $P$ noktası alalım. $AP$, $AY$ çaplı çemberi $A$ dışında bir $Q$; $PY$, $AY$ çaplı çemberi $Y$ dışında bir $R$ noktasında kessin. $PX \cap QR = \{S\}$ olmak üzere; $QS/SR$ yi hesaplayınız.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

$\dfrac{YM}{MA}=\dfrac{BY}{BA}=\dfrac{1}{3}$  tür.  Ayrıca $\angle MPB=90^\circ$  dir.  Bu iki özelliğin anlamı $APY$  üçgeninde $PM$ nin açıortay $PB$  nin dış açıortay olmasıdır.Çembersellikten $\angle QAY=\angle QRY$  olduğu için $\triangle APY \sim \triangle RPQ$  dur. $\triangle APY$  de 

$PX$ in kenarortay ve $PM$  nin açıortay olduğunu biliyoruz. $|QR|$  nin orta noktası $K$  olsun. Benzerlikten $\angle APX=\angle RPK$  olur.  $\triangle QPR$  de  $PM$  açıortay ve $PK$  kenarortaydır. Ayrıca $\angle QPS=\angle RPK$  dır. O zaman

$\triangle QPR$  de  $PS$  simedyandır.  Simedyanın özelliğinden $\dfrac{QS}{SR}=\dfrac{PQ^2}{PR^2}$  dir. Benzerlikten  $\dfrac{PQ}{PR}=\dfrac{PY}{PA}$  dır. Açıortay teoreminden  $\dfrac{PY}{PA}=\dfrac{MY}{MA}=\dfrac{1}{3}$  tür.  Dolayısıyla cevap $\dfrac{1}{9}$  dur.