Kenarortaysı

[geo]

$ABC$ üçgeninde $[AM]$ kenarortay, $[BE]$ ve $[CF]$ de birer yükseklik olup $AM \cap EF = \{N\}$ dir. $N$ nin $BC$ üzerindeki izdüşümü $X$ ise, $\angle BAM = \angle CAX$ ($AX$ in $\triangle ABC$ de bir kenarortaysı) olduğunu gösteriniz.

[ERhan ERdoğan]

$\triangle ABC\sim \triangle AEF$  dir. $[EF]$ nin orta noktası $D$ olsun. Üçgenlerin benzerliğinden $\angle{CAM}=\angle{FAN}$ olur.

$[AD]$ nin $[BC]$ yi kestiği noktaya $Y$ diyelim. $AEF$ üçgeninde $[AD]$: kenarortay, $[AN]$: simedyan ve $ABC$ üçgeninde $[AM]$: kenarortay , $[AY]$: simedyandır.

Bahsi geçen üçgenler benzer olduğundan eş görevli uzunlukların oranı benzerliklerinin oranını gösterir. O halde, $\dfrac{AD}{AM} = \dfrac{AN}{AY} \Rightarrow AD.AY=AN.AM $ olup bu son eşitlikten $M,N,D,Y$ noktalarının çembersel olduğunu anlıyoruz.

Bu çembersellikten $\angle{MDN}=\angle{NYM}=90^{\circ}$ dir. Yani $Y=X$ dir.